集合域

在集合代數中，域，或者代數，是指一種有序對${\displaystyle \,(\Omega ,{\mathcal {F}})\,}$，其中 ${\displaystyle \Omega }$ 是集合，${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$ 是由集合 ${\displaystyle \Omega }$ 的一些子集構成的一種集類，它滿足 ${\displaystyle \Omega }$ 自身是它的元素，且對加法（有限並）封閉和乘法（有限交）及逆（余集）運算封閉。在這樣的集類中，空集類似於 0，因為和它相加（並）的任何集合結果還是自身；全集相當於 1，因為和它相乘（交）的任何集合還是自身。

此條目介紹的是集合代數中的代數。關於數學分支，請見「代數」。

也可把滿足上述條件的集類${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$稱為域或代數

定義

非空集類 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ 若滿足以下條件：

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$；
2. ${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {F}},A\cup B\in {\mathcal {F}},A\cap B\in {\mathcal {F}}}$(對有限並、有限交封閉)；
3. ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}},A^{c}\in {\mathcal {F}}}$(對補集運算封閉).

則稱其為 ${\displaystyle \Omega }$ 上的一個代數^[1]。

或者可以把代數定義為有元素 ${\displaystyle \Omega }$ 和空集、對有限交（或有限並）和余集運算封閉的 ${\displaystyle \Omega }$ 的子集類^[2]，這兩者是等價的。

性質

無論從哪個定義出發，利用德摩根定律和集合交與並運算的分配律，都可列出代數具有如下性質：空集和全集是它的元素、對有限並和有限交封閉、對補集運算封閉、對差集運算封閉。

一個代數也一定是一個環^[3]。用可列互斥聯集封閉一個代數，將得到一個σ-代數^[2]:5，而後者是數學嚴格化測度論與機率論非常重要的一種集類。

其中用可列互斥聯集封閉一個代數 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 得到的新集類定義是：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\sum \!f}:=\left\{A|A=\sum _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in {\mathcal {F}},i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i,j=1,2,\cdots \right\}}$

其他定義

• ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$ 是 ${\displaystyle \Omega }$ 的冪集布林代數的子代數。在明確上下文時，亦稱 F 為集合域。
• ${\displaystyle \Omega }$ 的元素稱為點，而 ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$ 的元素稱為複形。

集合域在布林代數的表示理論中扮演中心角色。所有布林代數都可以被表示為集合域。

參見

• 內部代數
• 亞歷山德羅夫拓撲（英語：Alexandrov topology）
• Stone布林代數表示定理
• 史東對偶性（英語：Stone duality）
• 布林環