馬可夫不等式

在機率論中，馬可夫不等式（英語：Markov's inequality）給出了隨機變數的函數大於等於某正數的機率的上界。雖然它以俄國數學家安德雷·馬可夫命名，但該不等式曾出現在一些更早的文獻中，其中包括馬可夫的老師——柴比雪夫。

馬可夫不等式提供了${\displaystyle f(x)}$超過某特定數值${\displaystyle \epsilon }$（圖中標示紅色線處）機率的上界，其上界包括了特定數值${\displaystyle \epsilon }$及${\displaystyle f}$的平均值

馬可夫不等式把機率關聯到數學期望值，給出了隨機變數的累積分布函數一個寬泛但仍有用的界。

馬可夫不等式的一個應用是，不超過1/5的人口會有超過5倍於人均收入的收入。

表達式

X為一非負隨機變數，則

${\displaystyle \mathrm {P} (X\geq a)\leq {\frac {\mathrm {E} (X)}{a}}.}$^[1]

若用測度領域的術語來表示，馬可夫不等式可表示為若(X, Σ, μ)是一個測度空間，ƒ為可測的擴展實數的函數，且${\displaystyle \epsilon \geq 0}$，則

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .}$

有時上述的不等式會被稱為柴比雪夫不等式^[2]。

對於單調遞增函數的擴展版本

若φ是定義在非負實數上的單調遞增函數，且其值非負，X是一個隨機變數，a ≥ 0，且φ(a) > 0，則

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$

證明

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {E}}(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\\&=\int _{0}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }af(x)dx\\[6pt]&=a\int _{a}^{\infty }f(x)dx\\[6pt]&=a{\textrm {P}}(X\geqslant a).\end{aligned}}}$

用來推導柴比雪夫不等式

柴比雪夫不等式使用變異數來作為一隨機變數超過平均值機率的上限，可以用下式表示：

${\displaystyle \Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},}$

對任意a>0，Var(X)為X的變異數，定義如下：

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}$

若以馬可夫不等式為基礎，柴比雪夫不等式可視為考慮以下隨機變數

${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}$

根據馬可夫不等式，可得到以下的結果

${\displaystyle \Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$

矩陣形式的馬可夫不等式

令${\displaystyle M\succeq 0}$為自共軛矩陣形式的隨機變數，且${\displaystyle a>0}$，則

${\displaystyle \Pr(M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\mathrm {tr} \left(E(M)\right)}{a}}.}$

應用實例

• 馬可夫不等式可用來證明柴比雪夫不等式。
• 馬可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變數，其平均值${\displaystyle \mu }$和中位數${\displaystyle m}$滿足${\displaystyle m\leq 2\mu }$的關係。

參見

• 柴比雪夫不等式