馬蘭戈尼數

馬蘭戈尼數（Ma^[1]）是無量綱，是比較由於馬倫哥尼效應的輸送速率和擴散輸送速率的比值。The 馬倫哥尼效應是因為流體表面張力造成的流動。因此馬蘭戈尼數比較流和擴散的時間尺度，是一種佩克萊特數。

馬蘭戈尼數是因為表面張力梯度的對流傳輸速率，除以因為擴散的傳輸速率。

常見的例子是因為溫度梯度產生的表面張力梯度^[2]。相關的擴散是熱能擴散，另一個是因為界面活性劑濃度變化造成的表面梯度，此時的擴散是界面活性劑分子擴散。

馬蘭戈尼數得名自義大利科學家卡羅·馬蘭戈尼（英語：Carlo Marangoni）（1849-1925），不過此無量綱是在1950年代才開始使用^[2][3]，馬蘭戈尼沒有發現此無量綱，更沒有使用過。

針對黏度為${\displaystyle \mu }$的單一成分液體，表面張力在和表面平行的距離${\displaystyle L}$內，變化${\displaystyle \Delta \gamma }$，可以估計如下。此處假設${\displaystyle L}$是此問題唯一的長度尺度，實務上表示液體深度至少超過${\displaystyle L}$。輸送率會用斯托克斯流的方程估計，而流體速度會將將應力梯度等同於黏滯耗散來求得。表面張力是單位長度的力，所得的應力會是${\displaystyle \Delta \gamma /L}$，而黏滯應力是${\displaystyle \mu u/L}$，針對馬蘭戈尼流的速度${\displaystyle u}$，讓兩者相等會得到流速${\displaystyle u=\Delta \gamma /\mu }$。因為Ma是一種佩克萊特數，是速度乘以長度，除以擴散係數${\displaystyle D}$。而擴散係數正是造成表面張力差的原因，因此

$${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\dfrac {uL}{D}}={\dfrac {\Delta \gamma L}{\mu D}}}$$

溫度梯度產生的馬蘭戈尼數

馬蘭戈尼數一個常見的應用是針對一層液體（例如水），若有溫度差${\displaystyle \Delta T}$在這一層流體的兩邊。這可能是因為液體冷凝或是下方加熱。此時在液體上有和溫度有關的表面張力，多半當溫度上昇時，表面張力會下降。因此若因為小的擾動溫度，一部份的表面比其他表面熱，會因為表面張力的差距，從熱的部份流到冷的部份，此流動稱為馬倫哥尼效應。此流動會輸送能量，馬蘭戈尼數是比較流體輸送的能量，和因為擴散輸送能量的比值。

若液體厚${\displaystyle L}$，黏度${\displaystyle \mu }$，熱擴散率${\displaystyle \alpha }$，表面張力${\displaystyle \gamma }$，而表面張力隨溫度變化的偏微分為${\displaystyle \partial \gamma /\partial T}$，馬蘭戈尼數可以用以下公式計算^[4]： $${\displaystyle \mathrm {Ma} =-(\partial \gamma /\partial T).{\frac {L.\Delta T}{\mu .\alpha }}}$$

若Ma很小，會以熱擴散為主，若Ma很大，會有因為表面張力差所驅動的流動（對流），此為Bénard-Marangoni對流。

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