馬勒不等式

在數學領域, 馬勒不等式陳述說由兩個無窮正項序列的對應項的和構成序列的幾何均值大於或等於這兩個無窮序列幾何均值的和:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{1/n}\geq \prod _{k=1}^{n}x_{k}^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}y_{k}^{1/n}}$

其中, 對任何的k, x_k, y_k > 0.

不等式以庫爾特·馬勒的名字命名.

證明

由均值不等式, 有:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{x_{k} \over x_{k}+y_{k}},}$

和

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{y_{k} \over x_{k}+y_{k}}.}$

因此,

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}n=1.}$

整理後即得結論.

參閱

• 閔可夫斯基不等式

參考文獻

• http://eom.springer.de/M/m064060.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）