驢橋定理

驢橋定理（拉丁語：Pons asinorum），也稱為等腰三角形定理，是在歐幾里得幾何中的一個數學定理，是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。此定理出現在歐幾里得的幾何原本第一卷命題五。

Byrne版幾何原本中，驢橋定理的內容，有列出部份歐幾里得的證明

有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋；另外一種較為大家接受的說法，則是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試，並且做為後續更困難命題的橋梁^[1]。幾何學是列在中世紀的四術之中，驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為「笨蛋的難關」^[2]，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞已變成了一種隱喻，暗示對能力或了解程度的關鍵測試，可以區分了解及不了解的人^[3]。

證明

歐幾里得的證明

歐幾里得幾何原本第一卷的命題五

歐幾里得的證明包括第二個結論，就是若三角形的二腰延伸超過底邊，則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。歐幾里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線，但當時的數學家普羅克魯斯指出他沒有用到第二個結論，而且若在三角形內部繪輔助線，會使證明比較簡單。歐幾里得的證明用到稱為SAS的三角形全等，是幾何原本中的上一個命題。^[4]

其他證明方式

人教版數學教科書證明

在教科書（例如人教版數學教科書在八年級「軸對稱」一章）上常見的作法是作頂角A的角平分線^[5]。此證明方式比歐幾里德的簡單，但在幾何原本中命題9才是作角平分線^[6]，因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線，會有循環論證的問題。

其證明如下：

1. 令三角形為ABC，其中線段AB = 線段AC。
2. 作角BAC的角平分線，和線BC交與X點。
3. 線段AB = 線段AC，線段AX和自身等長，而且角BAX = 角CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。

勒讓德在《幾何原理（英語：Éléments de géométrie）》用了一個類似的方式證明，不過令X是線段BC的中點^[7]。其證明方式類似，但是會用到SSS全等，而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等。

帕普斯在約公元300年用了一個非常簡短的方法證明: 等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 則三角形ABC與ACB全等(SSS), 故三角形ABC 兩底角相等 Q.E.D. 在約1960年，赫伯特·吉倫特（英語：Herbert Gelernter）編寫的程序也得到了相同的證明。^[8]

用作隱喻的驢橋定理

• 十四世紀作家理察·昂格維爾（英語：Richard Aungerville）在《書之愛（英語：Philobiblon）》中將驢橋定理比擬為沒有梯子輔助的陡峭山坡，感歎多少可能成為幾何學家的人因此而回頭^[9]。
• 在直言三段論中，「驢橋」作為尋找三段論中項的一個隱喻，同時有橋梁及考驗的含意在內^[9]。
• 經濟學家約翰·斯圖爾特·密爾認為David Ricardo的地租理論是經濟學中的驢橋定理^[10]。
• 驢橋也是魔術方塊中的一個特殊組態。

相關條目

• 示播列：舊約聖經中試驗是否為以法蓮人的一句話，是用來區別一個人的社會或地區背景的指標。