黃金三角形

黃金三角形是一種特殊的等腰三角形，因為它腰與底邊（或底邊與腰）的比值等於黃金比故得名。黃金三角形有銳角三角形和鈍角三角形。其中銳角三角形的頂角為36度底角72度，而鈍角三角形頂角108度，底角各36度。

黃金三角形。利用相似三角形關係與等腰三角形性質可知其腰底比為黃金比

黃金三角形與等角螺線

黃金三角形內的等角螺線

如圖所示：通過黃金三角形做出等角螺線，方法是不斷地作出72度底角的平分線，通過連接作出的小黃金三角形的兩個底端點便可以看到其中蘊含的等角螺線。

黃金三角形與其他幾何圖形

如圖為一個五角星,五角星的每一個角上都是一個黃金三角形

五角星中也有黃金三角形。五角星每一個角都為36度，即每一個角上都有一個黃金三角形。

黃金三角形與三角函數

通過黃金三角形，我們可以輕易地求出以下三角函數值：

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}}$

參見

• 黃金矩形
• 黃金菱形
• 克卜勒三角
• 黃金分割