齊次函數

在數學中，齊次函數（英語：Homogenous）是一個有倍數性質的函數：如果變數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

正式定義

假設${\displaystyle f:V\rightarrow W}$是域${\displaystyle F}$內的兩個向量空間之間的函數。

我們說${\displaystyle f}$是「${\displaystyle k}$次齊次函數」，如果對於所有非零的${\displaystyle \alpha \in F}$和${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$，都有：

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )}$

即是，在歐幾里得空間，${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=f(k)\ f(\mathbf {v} )}$， 其中${\displaystyle f(k)}$為指數函數。

例子

• 線性函數${\displaystyle f:V\rightarrow W}$是一次齊次函數，因為根據線性的定義，對於所有的${\displaystyle \alpha \in F}$和${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$，都有：$${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$
• 多線性函數${\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W}$是n次齊次函數，因為根據多線性的定義，對於所有的${\displaystyle \alpha \in F}$和${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}}$都有：$${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$
• 從上一個例子中可以看出，兩個巴拿赫空間${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$之間的函數${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$的${\displaystyle n}$階弗雷歇導數是${\displaystyle n}$次齊次函數。
• ${\displaystyle n}$元單項式定義了齊次函數${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$。

例如：

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}}$

是10次齊次函數，因為：

${\displaystyle (\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}}$。

• 齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如：

${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$

是5次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函數。

基本定理

• 歐拉定理：假設函數${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$是可導的，且是${\displaystyle k}$次齊次函數。那麼：

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad }$。

這個結果證明如下。記${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )}$，並把以下等式兩端對${\displaystyle \alpha }$求導：

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$

利用複合函數求導法則，可得：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}$，

因此：

${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}$。

以上的方程可以用劈形算符寫為：

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ),\qquad \nabla =({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}})}$，

當${\displaystyle \alpha =1}$，定理即得證。

• 假設${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$是可導的，且是${\displaystyle k}$階齊次函數。則它的一階偏導數${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$是${\displaystyle k-1}$階齊次函數。

這個結果可以用類似歐拉定理的方法來證明。記${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )}$，並把以下等式兩端對${\displaystyle x_{i}}$求導：

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$

利用複合函數求導法則，可得：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})}$，

因此：

${\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$

所以

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$.

用於解微分方程

對於以下的微分方程

${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$

其中${\displaystyle I}$和${\displaystyle J}$是同次數的齊次函數，利用變量代換${\displaystyle v=y/x}$，可以把它化為可分離變量的微分方程：

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}$。

參考文獻

• Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德語）. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Homogeneous function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Homogeneous function. PlanetMath.