68–95–99.7法則

在統計上，68–95–99.7法則（68–95–99.7 rule）是在常態分布中，距平均值小於一個標準差、二個標準差、三個標準差以內的百分比，更精確的數字是68.27%、95.45%及99.73%。若用數學用語表示，其算式如下，其中 $X$ 為常態分布隨機變數的觀測值， $μ$ 為分布的平均值，而 $σ$ 為標準差：

{\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 0.682689492137086\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 0.954499736103642\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 0.997300203936740\end{aligned}}

在實驗科學中有對應常態分布的三西格馬法則（three-sigma rule of thumb），是一個簡單的推論，內容是「幾乎所有」的值都在平均值正負三個標準差的範圍內，也就是在實驗上可以將99.7%的機率視為「幾乎一定」^[1]。不過上述推論是否有效，會視探討領域中「顯著」的定義而定，在不同領域，「顯著」（significant）的定義也隨著不同，例如在社會科學中，若信賴區間是在正負二個標準差（95%）的範圍，即可視為顯著。但是在粒子物理中，若是發現（英語：Discovery (observation)）新的粒子，信賴區間要到正負五個標準差（99.99994%）的程度。

在不是常態分布的情形下，也有另一個對應的三西格馬法則（three-sigma rule），即使是在非常態分布的情形下，至少會有88.8%的機率會在正負三個標準差的範圍內，這是依照柴比雪夫不等式的結果。若是單模分布（unimodal distributions）下，正負三個標準差內的機率至少有95%，若一些符合特定條件的分布，機率至少會到98%^[2]。

[1]

[2]

範圍	範圍內樣本的預期比例	範圍外樣本的預期比例（近似）	若每天實驗一次，範圍外樣本的發生頻率
μ ± 0.5σ	0.382924922548026	3/5	每週4-5次
μ ± σ	0.682689492137086^[3]	1/3	每週2次
μ ± 1.5σ	0.866385597462284	2/15	每1週
μ ± 2σ	0.954499736103642^[4]	1/22	每3週
μ ± 2.5σ	0.987580669348448	1/81	每3個月
μ ± 3σ	0.997300203936740^[5]	1/370	每1年
μ ± 3.5σ	0.999534741841929	1/2149	每6年
μ ± 4σ	0.999936657516334	1/15787	每43年（約一生兩次）
μ ± 4.5σ	0.999993204653751	1/147160	每403年（近代以來僅1次）
μ ± 5σ	0.999999426696856	1/1744278	每7003477600000000000♠4776年（人類記錄歷史以來僅1次）
μ ± 5.5σ	0.999999962020875	1/26330254	每7004720900000000000♠72090年（智人出現以來僅4次）
μ ± 6σ	0.999999998026825	1/506797346	每138萬年（直立人出現以來僅1-2次）
μ ± 6.5σ	0.999999999919680	1/12450197393	每3400萬年（恐龍滅絕以來僅2次）
μ ± 7σ	0.999999999997440	1/390682215445	每10.7億年（地球誕生以來僅4次）
μ ± $x$ σ	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)$	${\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}$	每 ${\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}$ 天

68–95–99.7法則

數值表

參考文獻

參見

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