ARIMA模型

在統計學與計量經濟學所使用的時間序列分析中，自回歸單整移動平均模型（ARIMA）和季節性ARIMA模型（SARIMA）分別是自回歸移動平均模型（ARMA）向非平穩序列和周期性變化情形的推廣。所有這些模型都是為了更好地理解時間序列並預測未來值而擬合的。這種推廣的目的是使模型儘可能貼合數據。具體而言，ARMA模型假設序列具有平穩性，即其期望值不隨時間變化。若序列存在趨勢（但方差/自協方差保持恆定），可通過「差分」操作消除趨勢，^[1] 得到平穩序列。這種操作實現了對ARMA模型的推廣，對應著ARIMA中的「單整」（integrated）部分。類似地，周期性變化可通過「季節性差分」操作消除。^[2]

組成部分

與ARMA模型類似，ARIMA中的「自回歸」（AR）部分表示感興趣的演進變量對其前期值進行回歸；「移動平均」（MA）部分表示回歸誤差是同時期及過去不同時期誤差項的線性組合^[3]；而「單整」（I）部分表示數據值已被替換為當前值與前一值的差值（即通過差分操作消除趨勢）。

根據Wold分解定理（英語：Wold's decomposition theorem）^[4][5][6]，ARMA模型足以描述規則（亦稱純非確定性^[6]）的廣義平穩時間序列。這促使我們在應用ARMA模型前，需先通過差分等操作將非平穩序列轉化為平穩形式。^[7]

若時間序列包含可預測子過程（亦稱純正弦或復值指數過程^[5]），則該可預測成分在ARIMA框架下被視為具有非零均值但周期性（即季節性）的成分，可通過季節性差分操作予以消除。

數學形式

非季節性ARIMA模型通常記作 ARIMA(p, d, q)，其中參數 p, d, q 為非負整數：p 表示自回歸部分的階數（時間滯後項的數量），d 表示單整的階數（即數據經過差分操作的次數，即當前值與過去值相減的次數），q 表示移動平均部分的階數。季節性ARIMA模型通常記作 ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_m，其中大寫字母 P, D, Q 分別對應季節性部分的自回歸、單整（差分）、移動平均項，m 表示每個季節包含的周期數。^[8][2] 當三個參數中有兩個為0時，模型名稱可根據非零參數簡化，省略縮寫中的「AR」、「I」或「MA」。例如，${\displaystyle {\text{ARIMA}}(1,0,0)}$可簡稱為AR(1)，${\displaystyle {\text{ARIMA}}(0,1,0)}$稱為I(1)，${\displaystyle {\text{ARIMA}}(0,0,1)}$稱為 MA(1)。

給定時間序列數據 X_t，其中 t 為整數索引且 X_t 為實數，則 ${\displaystyle {\text{ARMA}}(p',q)}$ 模型可表示為：

${\displaystyle X_{t}-\alpha _{1}X_{t-1}-\dots -\alpha _{p'}X_{t-p'}=\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q},}$

或等價形式：

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

其中${\displaystyle L}$為滯後算子，${\displaystyle \alpha _{i}}$為模型自回歸部分的參數，${\displaystyle \theta _{i}}$為移動平均部分的參數，${\displaystyle \varepsilon _{t}}$為誤差項。通常假設誤差項${\displaystyle \varepsilon _{t}}$為獨立同分布的隨機變量，服從均值為0的常態分布。

若多項式${\displaystyle \textstyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)}$存在一個重數為 d 的單位根（即因子${\displaystyle (1-L)}$出現d次），則可將其重寫為：

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{p'-d}\varphi _{i}L^{i}\right)\left(1-L\right)^{d}.}$

此時，ARIMA(p, d, q) 過程通過 p = p'−d 體現此多項式分解特性，其數學形式為：

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

該過程本質上是自回歸多項式包含 d 個單位根的 ARMA(p+d, q) 過程。（這也是為何當 d > 0 時，嚴格符合ARIMA模型的過程不具有廣義平穩性的原因。）

進一步推廣後，模型形式為：

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\delta +\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}.\,}$

此時定義了一個具有漂移項${\displaystyle {\frac {\delta }{1-\sum \varphi _{i}}}}$的 ARIMA(p, d, q) 過程。

參見

• 自相關函數
• ARMA模型
• 有限衝激響應
• 無限衝激響應
• 部分自相關（英語：Partial autocorrelation）