Alpha-beta剪枝

Alpha-beta剪枝是一種搜尋演算法，用以減少極小化極大演算法（Minimax演算法）搜尋樹的節點數。這是一種對抗性搜尋演算法，主要應用於機器遊玩的二人遊戲（如井字棋、象棋、圍棋）。當演算法評估出某策略的後續走法比之前策略的還差時，就會停止計算該策略的後續發展。該演算法和極小化極大演算法所得結論相同，但剪去了不影響最終決定的分枝^[1]。

歷史

Allen Newell和Herbert A. Simon在1958年，使用了John McCarthy所謂的「近似」alpha-beta演算法^[2]，此演算法當時「應已重新改造過多次」^[3]。亞瑟·李·塞謬爾（Arthur Samuel）有一個早期版本，同時Richards、Hart、Levine和/或Edwards在美國分別獨立發現了alpha-beta^[4]。McCarthy在1956年達特默思會議上提出了相似理念，並在1961年建議給他的一群學生，其中包括MIT的艾倫·科托克^[5]。Alexander Brudno獨立發現了alpha-beta演算法，並在1963年發布成果^[6]。Donald Knuth和Ronald W. Moore在1975年最佳化了演算法^[7][8]，Judea Pearl在1982年證明了其最佳性^[9]。

對原版極小化極大演算法的改進

Alpha-beta的優點是減少搜尋樹的分枝，將搜尋時間用在「更有希望」的子樹上，繼而提升搜尋深度。該演算法和極小化極大演算法一樣，都是分支限界類演算法。若節點搜尋順序達到最佳化或近似最佳化（將最佳選擇排在各節點首位），則同樣時間內搜尋深度可達極小化極大演算法的兩倍多。

在（平均或恆定）分枝因子為b，搜尋深度為d層的情況下，要評估的最大（即招法排序最差時）葉節點數目為O(b*b*...*b) = O(b^d)——即和簡單極小化極大搜尋一樣。若招法排序最佳（即始終優先搜尋最佳招法），則需要評估的最大葉節點數目按層數奇偶性，分別約為O(b*1*b*1*...*b)和O(b*1*b*1*...*1)（或O(b^d/2) = O(√b^d)）。其中層數為偶數時，搜尋因子相當於減少了其平方根，等於能以同深度搜尋兩次^[10]。b*1*b*1*...意義為，對第一名玩家必須搜尋全部招法找到最佳招式，但對於它們，只用將第二名玩家的最佳招法截斷——alpha-beta確保無需考慮第二名玩家的其他招法。但因節點生成順序隨機，實際需要評估的節點平均約為O(b^3d/4)^[2]。

一般在alpha-beta中，子樹會由先手方優勢或後手方優勢暫時占據主導。若招式排序錯誤，這一優勢會多次切換，每次讓效率下降。隨著層數深入，局面數量會呈指數性增長，因此排序早期招式價值很大。儘管改善任意深度的排序，都以能指數性減少總搜尋局面，但排序臨近根節點深度的全部局面相對經濟。在實踐中，招法排序常由早期、小型搜尋決定，如通過迭代加深。

演算法使用兩個值alpha和beta，分別代表大分玩家放心的最高分，以及小分玩家放心的最低分。alpha和beta的初始值分別為正負無窮大，即雙玩家都以可能的最低分開始遊戲。在選擇某節點的特定分枝後，可能發生小分玩家放心的最小分小於大分玩家放心的最大分（beta <= alpha）。這種情況下，父節點不應選擇這個節點，否則父節點分數會降低，因此該分枝的其他節點沒有必要繼續探索。

虛擬碼

下面為一有限可靠性版本的Alpha-beta剪枝的虛擬代碼^[10]：

 function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer) // node = 节点，depth = 深度，maximizingPlayer = 大分玩家
     if depth = 0 or node是终端節點
         return 節點的啟發值
     if maximizingPlayer
         v := -∞
         for 每个子節點
             v := max(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, FALSE)) // child = 子節點
             α := max(α, v)
             if β ≤ α
                 break // β裁剪
         return v
     else
         v := ∞
         for 每个子節點
             v := min(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, TRUE))
             β := min(β, v)
             if β ≤ α
                 break // α裁剪
         return v

(* 初始調用 *)
alphabeta(origin, depth, -∞, +∞, TRUE) // origin = 初始節點

在這個有限可靠性的alpha-beta中，當v超出調用參數α和β構成的集合時（v < α或v > β），alphabeta函式返回值v。而與此相對，強化的有限可靠性alpha-beta限制函式返回在α與β包括範圍中的值。