Hautus引理

Hautus引理（Hautus lemma）是在控制理論以及狀態空間下分析線性時不變系統時，相當好用的工具，得名自Malo Hautus^[1]，最早出現在1968年的《Classical Control Theory》及1973年的《Hyperstability of Control Systems》中 ^[2][3]，現今在許多的控制教科書上可以看到此引理。

主要結果

有許多有關引理的不同型式。

可控制性Hautus引理

可控制性Hautus引理提到若給定一方陣${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$及${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$，以下幾個式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$對具有可控制性
2. 針對所有的${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，下式都成立 ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$
3. 針對所有${\displaystyle \mathbf {A} }$的特徵值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，下式都成立 ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

可穩定性Hautus引理

可穩定性Hautus引理提到若給定一方陣${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$及${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$，以下幾個式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$對具有可穩定性
2. 針對所有${\displaystyle \mathbf {A} }$的特徵值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，而且滿足${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$，下式都成立${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

可偵測性Hautus引理

可偵測性Hautus引理提到若給定一方陣${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$及${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$，以下幾個式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$對具有可偵測性
2. 針對所有${\displaystyle \mathbf {A} }$的特徵值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，而且滿足${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$，下式都成立${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]=n}$