K·p微擾論

K·p微擾論又名K·p微擾法，是固體物理中用來計算固體能帶結構和光學性質的一種微擾方法，因微擾哈密頓算符中出現了正比於簡約波向量（k）與動量算符（p）內積的項而得名。該方法可以近似估計半導體中的電子在導帶底的有效質量。^[1][2]

背景

在晶體中，勢場具有週期性，如果給其中電子的波函數加以週期性邊界條件，則波函數將具有布洛赫波的形式：^[1]

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }u_{n,\mathbf {k} }}$

其中${\displaystyle \mathbf {k} }$是簡約波向量，${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$是週期函數，且週期與晶格的週期完全相同。^[1]

將該表達式代入定態薛丁格方程式，可得${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$滿足的方程式。該方程式在形式上類似於定態薛丁格方程式：^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

其「哈密頓算符」為：${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

微擾方法

K·p微擾論適用於簡約波向量${\displaystyle \mathbf {k} }$較小的情形下。此時可將「哈密頓算符」中不含有簡約波向量${\displaystyle \mathbf {k} }$的項視為無微擾的「哈密頓算符」，把含有簡約波向量${\displaystyle \mathbf {k} }$的項視為「微擾哈密頓算符」，即：^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

利用微擾方法可以用所有${\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }}$的線性組合表達某個能帶的${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$，進而給出能量${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }}$與簡約波向量${\displaystyle \mathbf {k} }$的近似關係。如果${\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }}$是不簡併的，考慮到一級修正後${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$的表達式為：^[1]

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

考慮二級修正以後能量的表達式為：^[1]

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}\sum _{i,j}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}k_{i}k_{j}}$

電子的倒有效質量張量近似為：^[1]

${\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

應用

在直接帶隙半導體中，導帶底部的電子對應的簡約波向量為零，它的有效質量可運用K·p微擾論近似計算。微擾論中最近鄰態的微擾貢獻最大。導帶底和價帶頂的態互為最近鄰態，僅考慮彼此的微擾貢獻，K·p微擾論的結果可進一步簡化為：^[1]

${\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle ||\langle u_{c,0}|p_{j}|u_{v,0}\rangle |}{E_{g}}}}$

式中${\displaystyle E_{g}}$為導帶底與價帶頂的能量差，即帶隙；腳標v和c分別指代價帶頂與導帶底的態。如果所考慮的導帶底是旋轉對稱的，倒有效質量張量可以用一個純量代替：^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{m^{\star }}}={\frac {1}{m}}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{i}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle |^{2}}{E_{g}}}}$

表明半導體的帶隙越小，導帶底電子有效質量也越小。對通常的半導體來說，導帶底電子的有效質量遠小於電子的真實質量，且矩陣元與電子真實質量的比值近似為一個常量10eV。故：^[1]

${\displaystyle {m^{\star }}/m=E_{g}/20ev}$

該公式給出的導帶底電子有效質量近似值與絕大多數IV族、III-V族、II-VI族直接帶隙半導體實測值的誤差在15%以內。^[3]

推廣

如果考慮自旋-軌道作用，仍然可以用類似方法處理。此時「哈密頓算符」應寫為：^[2]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

如果${\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }}$有簡併，需要使用簡併微擾理論。^[4]Luttinger–Kohn模型（英語：Luttinger–Kohn model）可以處理這類問題。^[5]

參見

• 布洛赫定理