Lax 對

Lax 對定義。一個非線性偏微分方程

${\displaystyle F(x,t,u,\dots )=0}$

的Lax 對 是一對線性微分算子^[1]

${\displaystyle L=L(u,\lambda )}$

${\displaystyle M=M(u,\lambda )}$

${\displaystyle [L,M]=LM-ML}$ 是交換子。

如果 ${\displaystyle F(x,t,u,\dots )=0}$可以表示為 Lax 方程：

${\displaystyle L_{t}+[L,M]=0}$ , 且 ${\displaystyle L\phi =\lambda (t)\phi }$ , 則 ${\displaystyle \lambda _{t}=0}$ , 並且 ${\displaystyle \phi }$ 滿足

${\displaystyle \phi _{t}=M\phi }$

高維Lax對

1972年V.E.Zakharov,A.B.Shabat,將Lax對推廣到高維^[2]

對於兩個 線性方程 ${\displaystyle \phi _{x}=A\phi ,\phi _{t}=B\phi }$

其中A、B是 n x n 維矩陣; 或者更一般地，A和B可以是李代數g的元素; g可以是無限維的，參見 例如 ^[3]及其中的參考文獻 。

定義 ${\displaystyle A_{t}-B_{x}+[A,B]=0}$ 為兩個 線性方程 ${\displaystyle \phi _{x}=A\phi ,\phi _{t}=B\phi }$的相容條件。

實例

KdV 方程 的Lax對為

${\displaystyle L={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+u}$

${\displaystyle M=-4{\frac {\partial ^{3}}{\partial x^{3}}}+6u{\frac {\partial }{\partial x}}+3{\frac {\partial u}{\partial x}}}$

非線性薛丁格方程

${\displaystyle \mathbf {A} =i\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$+${\displaystyle i{\begin{bmatrix}0&q\\r&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =2i\lambda ^{2}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$+${\displaystyle 2i\lambda {\begin{bmatrix}0&Q\\R&0\end{bmatrix}}}$+ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&q_{x}\\-r_{x}&0\end{bmatrix}}}$-${\displaystyle i{\begin{bmatrix}rq&0\\0&-rq\end{bmatrix}}}$

sine-Gordon方程

${\displaystyle \mathbf {A} =i\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$+${\displaystyle i{\begin{bmatrix}0&q\\r&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4i\lambda }}{\begin{bmatrix}\cos u&-i\sin u\\i\sin u&-\cos u\end{bmatrix}}}$

Sinh-Gordon方程

${\displaystyle \mathbf {A} =i\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$+${\displaystyle i{\begin{bmatrix}0&q\\r&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4i\lambda }}{\begin{bmatrix}coshu&-isinhu\\-isinhu&-coshu\end{bmatrix}}}$

KdV 方程

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}i\lambda &1\\u&-i\lambda \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}4i\lambda ^{3}+2i\lambda u-u_{x}&4\lambda ^{2}+2u\\4\lambda ^{2}u+2i\lambda u_{x}+2u^{2}-u_{xx}+2u^{3}&4i\lambda ^{3}+2i\lambda u^{2}\end{bmatrix}}}$

mKdV方程

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-i\lambda &u\\u&i\lambda \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-4i\lambda ^{3}-2i\lambda u^{2}&4\lambda ^{2}u+2i\lambda u_{x}-u_{xx}+2u^{3}\\4\lambda ^{2}u-2i\lambda u_{x}-u_{xx}+2u^{2}&4i\lambda ^{3}+2i\lambda u^{2}\end{bmatrix}}}$

切觸Lax對^[3]