Lp範數

${\displaystyle L_{p}}$-範數（英語：${\displaystyle L_{p}}$-norm，亦稱 ${\displaystyle \ell _{p}}$-範數、${\displaystyle p}$-範數)是向量空間中的一組範數。${\displaystyle L_{p}}$-範數與冪平均有一定的聯繫。它的定義如下：

${\displaystyle L_{p}({\vec {x}})=\lVert {\vec {x}}\rVert _{p}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p},\qquad {\vec {x}}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\,p\geqslant 1.}$

p 的不同取值

圖中的${\displaystyle q}$即是${\displaystyle L_{p}}$範數中的${\displaystyle p}$。這是當${\displaystyle p}$取不同值時，在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$空間上的${\displaystyle L_{p}}$-範數等高線的其中一條。該圖展現了各${\displaystyle L_{p}}$-範數的形狀。

• ${\displaystyle p=-\infty }$: ${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{-\infty }=\lim _{p\to -\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\min _{i}|x_{i}|}$。^{[來源請求]}
• ${\displaystyle p=0}$：${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{0}=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\neq 0\right]}$，也就是所有 ${\displaystyle x_{i}}$ 中，不等於零的個數。注意，這裡的 ${\displaystyle L_{0}}$-範數並非通常意義上的範數（不滿足三角不等式或次可加性）。^[1]
• ${\displaystyle p=1}$：${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|}$，即 ${\displaystyle L_{1}}$-範數是向量各分量絕對值之和，又稱曼哈頓距離。
• ${\displaystyle p=2}$: ${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{2}={\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$，此即歐氏距離。
• ${\displaystyle p=+\infty }$: ${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{\infty }=\lim _{p\to +\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\max _{i}|x_{i}|}$，此即無窮範數或最大範數，亦稱柴比雪夫距離。

在機器學習中的應用

主條目：正則化 (計算機科學)

在機器學習中，為了對抗過擬合、提高模型的一般化能力，可以通過向目標函數當中引入參數向量的 ${\displaystyle L_{p}}$-範數來進行正則化。其中最常用的是引入 ${\displaystyle L_{1}}$-範數的 ${\displaystyle L_{1}}$-正則項和引入 ${\displaystyle L_{2}}$-範數的 ${\displaystyle L_{2}}$-正則項；前者有利於得到稀疏解，後者有利於得到平滑解。