Meijer G-函數

Meijer G-函數是荷蘭數學家梅耶爾引入的一種特殊函數。它是廣義超幾何函數的推廣，絕大多數的特殊函數都可以用 Meijer G-函數表示出來。

定義

廣義超幾何函數有下列一般的積分表達式（參見相關小節）：

${\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}$

其中積分路徑 C 視參數 p, q 的相對大小而定。上面的積分表達式具有 Mellin 逆變換的形式。

Meijer-G 函數是上面積分表達式的一個推廣，它的定義為：

${\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}z^{s}\left.\left(\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{k}+s)\right)\right/\left(\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}-s)\right/\left.\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}-s)\right)\mathrm {d} s}$

其中積分路徑 C 視參數的相對大小而定^{[注 1]}。但是，為了保證至少一條積分路徑有定義，要求

${\displaystyle a_{k}-b_{l}\notin \mathbb {Z} ^{+},\quad \forall k=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,m}$

在書寫 Meijer-G 函數時要注意，上標中的第一個參數和下標中的第二個參數對應的是 b_k，而上標中的第二個參數和下標中的第一個參數對應的是 a_k。

對比上述兩式可以得到廣義超幾何函數和 Meijer-G 函數的關係：

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})}}\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\\=&G_{p,q+1}^{1,p}\left[{\begin{matrix}1-a_{1}&1-a_{2}&\ldots &1-a_{p}\\0&1-b_{1}&\ldots &1-b_{q}\end{matrix}};-z\right]\\=&G_{q+1,p}^{p,1}\left[{\begin{matrix}1&b_{1}&\ldots &b_{q}\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\end{matrix}};-{\frac {1}{z}}\right]\end{array}}}$

基本性質

和廣義超幾何函數一樣，如果上下兩個向量組在合適的位置有相同的元素，則 Meijer-G 函數可以降階，此處不再贅述。

一般關係式

Meijer-G 函數的導函數具有下列性質：

${\displaystyle z^{h}{\frac {\mathrm {d} ^{h}}{\mathrm {d} z^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

注意 h 可以取任意整數值，取負數時表示不定積分。

另一方面，

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-a_{1}+1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\geq 1.}$

${\displaystyle \left(a_{p}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\leq p-1.}$

${\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-b_{q}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\leq q-1.}$

${\displaystyle \left(b_{1}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\geq 1.}$

上面的式子都可以直接由定義得到。

向量組中兩個元素相差整數時的關係式

由

${\displaystyle {\frac {\Gamma (1-u+s)}{\Gamma (1-v+s)}}=(-1)^{u-v}{\frac {\Gamma (v-s)}{\Gamma (u-s)}},\quad u-v\in \mathbb {Z} }$

又有

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

微分方程

由上面一般關係式一節的討論知 Meijer-G 函數滿足下列微分方程，它與廣義超幾何函數滿足的微分方程形式上很類似。

${\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}z\prod _{k=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-a_{k}+1\right)-\prod _{k=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-b_{k}\right)\right]w=0,\quad w(z)=G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}$.

這是一個 max(p,q) 階的線性微分方程，在 z=0 附近的基本解組可以選取為

${\displaystyle {\begin{cases}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,&{\text{ if }}p\leqslant q\\G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p,&{\text{ if }}p\geqslant q\end{cases}}}$

當 p=q 時兩種取法都可以。

從 m, n 的取值上就可以看到它們跟廣義超幾何函數有直接的聯繫。事實上的確如此，以第一種情況為例，

${\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)=z^{b_{h}}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-b_{h},\dots ,a_{p}-b_{h}\\0,b_{1}-b_{h},\dots ,b_{h-1}-b_{h},b_{h+1}-b_{h},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)}$

等號右邊的 Meijer-G 函數顯然就是廣義超幾何函數。

特殊情形

因為廣義超幾何函數是 Meijer-G 函數的特殊情形，故所有可以用廣義超幾何函數表示的特殊函數都可以用 Meijer-G 函數表示，但是，在個別情況下，用 Meijer-G 函數有更簡單的表示式，例子如諾依曼函數，它可以用超幾何函數₀F₁表示，但表示式僅僅是將（第一類）貝索函數的超幾何函數表示式代入其定義式中，因此含有兩個超幾何函數。而用 Meijer-G 函數就可以直接表示為：

${\displaystyle Y_{\nu }(z)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg z\leq {\frac {\pi }{2}}}$

另外一個例子是不完全伽瑪函數對參變量的偏導數，它無法用廣義超幾何函數表出，但可以用 Meijer-G 函數表出：

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,z)}{\partial a}}=\Gamma (a,z)\ln z+\,G_{2,\,3}^{\,3,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\a,0,0\end{matrix}}\;\right|\,z\right)}$

事實上，不完全伽瑪函數對參變量的高階偏導數也可以用 Meijer-G 函數表出，詳見不完全Γ函數一文。

推廣

如同廣義超幾何函數和Kampé de Fériet函數（雙變量的廣義超幾何函數）的關係那樣，Meijer G-函數也可以被推廣到兩個變量的情況： ${\displaystyle G_{p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}^{m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2}}\left[{\begin{array}{lll}a_{1},\dots ,a_{p};c_{1,1},\dots ,c_{1,u_{1}};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_{2}};\\b_{1},\dots ,b_{q};d_{1,1},\dots ,d_{1,v_{1}};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_{2}};\end{array}}\ z,w\right]=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{\mathcal {L}}\int _{\mathcal {L'}}{\frac {\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}{\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{1}}\Gamma (d_{1,k}+\sigma )\prod _{k=1}^{t_{1}}\Gamma (1-c_{1,k}-\sigma )}{\prod _{k=t_{1}+1}^{u_{1}}\Gamma (c_{1,k}+\sigma )\prod _{k=s_{1}+1}^{v_{1}}\Gamma (1-d_{1,k}-\sigma )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{2}}\Gamma (d_{2,k}+\tau )\prod _{k=1}^{t_{2}}\Gamma (1-c_{2,k}-\tau )}{\prod _{k=t_{2}+1}^{u_{2}}\Gamma (c_{2,k}+\tau )\prod _{k=s_{2}+1}^{v_{2}}\Gamma (1-d_{2,k}-\tau )}}z^{-\sigma }w^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2},p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}\in \mathbb {N} ,m\leq q,n\leq p,s_{1}\leq v_{1},t_{1}\leq u_{1},s_{2}\leq v_{2},t_{2}\leq u_{2}}$