倒三角算符

倒三角算符^[1]，又稱向量微分算子、Nabla算子^[2]（Nabla）、Del算子^[3]（del operator），符號為∇，是一個向量微分算子，但本身並非一個向量^[4]。

其形式化定義為：

${\displaystyle \nabla ={\mathrm {d} \over \mathrm {d} r}}$

在${\displaystyle n}$維空間中，分母${\displaystyle \mathrm {d} r}$為含${\displaystyle n}$個分量的向量，因而${\displaystyle \nabla }$本身就是個${\displaystyle n}$維向量算子。

三維情況下，${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} }$ 或 ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

二維情況下，${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} }$ 或 ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

${\displaystyle \nabla }$作用於不同類型的量，得到的就是不同類型的新量：

${\displaystyle \nabla }$直接作用於函數${\displaystyle F(r)}$（不論${\displaystyle F}$是純量還是向量），意味著求${\displaystyle F(r)}$的梯度，表示為：${\displaystyle \nabla F(r)}$（純量函數的梯度為向量，向量的梯度為二階張量）；

${\displaystyle \nabla }$與非純量函數${\displaystyle F(r)}$由點積符號 ${\displaystyle \cdot }$ 連接，意味著求${\displaystyle F(r)}$的散度，表示為：${\displaystyle \nabla \cdot F(r)}$；

${\displaystyle \nabla }$與非純量（三維）函數${\displaystyle F(r)}$由叉積符號${\displaystyle \times }$連接，意味著求${\displaystyle F(r)}$的旋度，表示為：${\displaystyle \nabla \times F(r)}$。

名稱

Nabla算子的名字來自希臘語中一種被稱為納布拉琴的豎琴。相關的詞彙也存在於亞拉姆語和希伯來語中。

該符號的另一常見的名稱是atled，因為它是希臘字母Δ倒過來的形狀。除了atled外，它還有一個名稱是del。

Del算子在標準HTML中寫為&nabla，而在LaTeX中為\nabla。在Unicode中，它是十進制數8711，也即十六進制數0x2207。

Del算子在數學中用於指代梯度算符，並可組成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用於指代微分幾何中的聯絡（可以視為更廣意義上的梯度算子）。它由哈密爾頓引入。

參見

• 在圓柱和球坐標系中的del