Rayleigh-Plesset方程式

在流體力學中，Rayleigh–Plesset方程 是一個用來描述在無限體積的液體中球型氣泡的動力學特徵的常微分方程。^[1][2][3][4] 它以瑞利男爵（John Strutt, 3rd Baron Rayleigh）和 Milton S. Plesset命名。 它通常被寫作

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$

Rayleigh–Plesset方程式經常應用於研究空穴現象中的氣泡, 照片顯示的是運動中的螺旋槳產生的氣泡

其中

${\displaystyle P_{B}(t)}$ 為氣泡內壓強, 假設壓強均勻一致不隨空間變化

${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ 為距氣泡無限遠的氣泡外的壓強

${\displaystyle \rho _{L}}$ 為周圍液體的密度，假設為常量且不變化

${\displaystyle R(t)}$ 為氣泡的半徑

${\displaystyle \nu _{L}}$ 為周圍液體的運動黏度，假設為常量且不變化

${\displaystyle S}$ 為氣泡的表面張力

若 ${\displaystyle P_{B}(t)}$ 已知並且 ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ 的值被給出, Rayleigh–Plesset方程可以用作解決隨時間變化的氣泡半徑的長度 ${\displaystyle R(t)}$.

Rayleigh–Plesset方程是由納維-斯托克斯方程推導出來的，假設其球對稱性成立。^[4]

歷史

這個方程最早是由 W. H. Besant 在 1859 年推倒出來的。一個沒有作用力的均勻不可壓縮流體處於靜止狀態,忽略表面張力和黏性，而流體間突然產生一球型氣泡。距離氣泡中心無限遠的壓力應該保持不變。考慮到氣泡內的壓力變化, Besant 預測填充空腔所需的時間。

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=a\left({\frac {6\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=a\left({\frac {\pi \rho }{6p_{\infty }}}\right)^{1/2}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468a\left({\frac {\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$

約翰·斯特拉特(第三代瑞利男爵)於 1917 從能量平衡得出了方程式。瑞利也意識到，隨著半徑的減小，氣泡內壓力為定值的假設是錯誤的，使用波義耳定律指出，如果氣泡的體積減小了一半，壓力會增加一倍，氣泡邊界附近的壓力將大於環境壓力。1949 年，Milton S. Plesset 第一次應用於氣泡現象。