軌道週期

軌道週期（也稱為公轉週期）是給定的天體完成圍繞另一個物體一次的軌道所需的時間。在天文學，它通常適用於圍繞太陽運行的行星 或小行星、衛星繞軌道運行的行星、系外行星繞其母恆星運行，或聯星的互繞。它也可以指人造衛星繞行星或衛星運行完成一個軌道所需的時間。

提示：此條目的主題不是自轉週期。

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對於一般的天體，軌道週期是由軌道天體（英語：Orbiting body）圍繞其母天體公轉360°公轉決定的，例如地球繞太陽轉。

天文學中的週期以時間單位表示，通常是小時、天或年。它的倒數是軌道頻率，是一種轉動頻率，單位為赫茲。

圍繞中心天體運行的小天體

橢圓的半長軸（「a」）和半短軸（「b」）。

根據克卜勒第三定律，兩個點質量在圓形或橢圓軌道中相互繞行的軌道週期「T」為^[1]：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{GM}}}}$

此處：

• a是軌道的半長軸
• G是萬有引力常數，
• M是質量較大物體的質量。

對於具有給定半長軸的所有橢圓，無論離心率如何，軌道週期都是相同的。

相反，為了計算物體必須繞軌道運行的距離才能具有給定的軌道週期T：

${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\frac {GMT^{2}}{4\pi ^{2}}}}}$

例如，質量為100公斤左右的一個小天體，必須在距離中心天體的質心 1.08公尺的距離處運行，才能每24小時完成一個軌道。

在完美圓形軌道的特殊情況下，半長軸a等於軌道的半徑，軌道速度恆定且等於

${\displaystyle v_{\text{o}}={\sqrt {\frac {GM}{r}}}}$

此處：

• r是以米為單位，圓形軌道的半徑，

這對應於逃逸速度的1⁄√2倍（≈ 0.707倍）。

中心體密度的影響

對於密度均勻的完美球體，可以在不測量質量的情況下重寫第一個方程式，如下所示：

${\displaystyle T={\sqrt {{\frac {a^{3}}{r^{3}}}{\frac {3\pi }{G\rho }}}}}$

此處：

• r是球體的半徑
• a是軌道的半長軸，
• G是重力常數，
• ρ是球體的密度。

例如，一個半徑為0.5米的鎢球體表面上方10.5 公分的圓形軌道上的小物體，將以略高於1 毫米/秒的速度行進，每小時完成一個軌道。如果同一個球體由鉛組成，那麼小天體只需要在地表上方6.7 毫米處運行，就能維持相同的軌道週期。

當一個非常小的物體位於圓形軌道上，幾乎高於任何半徑和平均密度「ρ」（單位為 kg/m³）的球體表面時，上述方程式簡化為

${\displaystyle T={\sqrt {\frac {3\pi }{G\rho }}}}$

（因為「r」現在幾乎等於「a」）。因此，無論其大小如何，低軌道的軌道週期僅取決於中心天體的密度。

因此，對於做為中心天體的地球（或任何其它具有相同平均密度的球對稱天體，大約 5,515公斤/米^3[2]，例如密度為5,427公斤/米³的水星和密度為5,243公斤/米³的金星，我們得到：

T = 1.41 小時

對於由水構成的身體，密度 ρ〜1,000公斤/米^3[3]，或具有相似密度的天體，例如土星的衛星伊阿珀托斯密度為1,088公斤/米³和特提斯 與 984 kg/m³我們得到：

T = 3.30 小時

因此，作為使用像「G」這樣的非常小的數位的替代方法，可以使用一些參考材料（例如水）來描述萬有引力的強度：球形水體表面上方軌道的軌道週期為 3小時18分鐘。相對的，如果我們有一個密度單位，這可以用作一種「通用」的時間單位^{[來源請求][原創研究？]}。

兩個相互繞行的天體

一些太陽系軌道（╳符號表示克卜勒的值）的週期「T」與半長軸「a」（遠日點和近日點的平均值）的對數-對數圖顯示「a」³/T²是常數（綠線）

在天體力學中，當必須考慮兩個軌道天體的質量時，軌道週期「T」可以計算如下^[4]：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}}}$

此處：

• a是物體中心移動橢圓的半長軸的總和，換言之，在以一個天體為原點的參考系中，另一個天體橢圓軌道的半長軸或者等效值（即等於它們對於圓形軌道的恆定間隔），
• M₁ + M₂是兩個物體質量的總和，
• G是萬有引力常數。

在拋物線或雙曲軌跡中，運動不是週期性的，完整軌跡的持續時間是無限的。

相關週期

軌道週期指一顆行星（或其他天體）環繞軌道一周需要的時間。

環繞太陽運行的星體有幾種不同的軌道週期：

• 恆星週期（英語：sidereal period）是一顆行星環繞恆星公轉一整圈回到軌道上原來的位置所需要的時間。這是一顆行星真正的軌道週期，也是一般所指的公轉週期。
• 會合週期（synodic period）是一顆行星環繞恆星公轉一整圈回到從地球的角度觀察到的天球上原來的位置所需要的時間。這是一顆行星在回到軌道起點之間的間隔。會合週期與恆星週期之所以不同是因為地球本身也環繞著太陽公轉。
• 交點週期（nodal period）是一顆行星環繞恆星公轉一整圈兩次經過交點之間所需要的時間。一顆行星的交點是它從南半天球跨越黃道進入北半天球的那一點。交點週期與公轉週期之所以不同是因為一顆行星的交點線會慢慢地由歲差而移動。
• 近點週期（anomalistic period）是一顆行星環繞恆星公轉一整圈兩次經過近恆點之間所需要的時間。一顆行星的近恆點是它軌道上最接近恆星的那一點。近點週期與公轉週期之所以不同是因為一顆行星的副軸會慢慢地由歲差而移動。
• 回歸週期（tropical period）是一顆行星環繞恆星公轉一整圈兩次經過赤經0度之間所需要的時間。回歸週期比公轉週期稍短一些，因為春分點會慢慢地由歲差而移動。

恆星週期和會合週期的關係

哥白尼導出一個數學公式，通過會合週期計算恆星週期。

常用縮寫

E = 地球的恆星週期

P = 其它行星球的恆星年

S = 其它行星的會合週期

在時間S內，地球向前移動角度是（360°/E）S（假設為圓形軌道），星星移動的角度是（360°/P）S.

如果天體是一顆內部行星，就是說它環繞太陽公轉一整圈所需要的時間比地球短：

${\displaystyle {\frac {S}{P}}360^{\circ }={\frac {S}{E}}360^{\circ }+360^{\circ }}$

使用代數來簡化：

${\displaystyle S={\frac {1}{{\frac {1}{P}}-{\frac {1}{E}}}}}$

如果天體是一顆外部行星，就是說它環繞太陽公轉一整圈所需要的時間比地球長：

${\displaystyle {\frac {S}{P}}360^{\circ }={\frac {S}{E}}360^{\circ }-360^{\circ }}$

使用代數來簡化：

${\displaystyle S={\frac {1}{{\frac {1}{E}}-{\frac {1}{P}}}}}$

從地球和天體角速度的差異來看，這兩個公式非常容易理解。天體的視角速度等於它的角速度減去地球的角速度，而恆星週期就是一個圓周除以這個天體的視角速度。

太陽系各行星及冥王星、穀神星相對地球的會合週期：

	恆星週期（年）	會合週期（年）	會合週期（日）
水星	0.241	0.317	115.9
金星	0.615	1.599	583.9
地球	1	—	—
月球	0.0748	0.0809	29.5306
火星	1.881	2.135	779.94
穀神星	4.600	1.278	466.7
木星	11.8618	1.092	398.9
土星	29.45	1.035	378.1
天王星	84.07	1.012	369.7
海王星	164.9	1.006	367.5
冥王星	248.1	1.004	366.7

計算

小天體繞中心天體運轉

天文學中繞中心天體在圓或者橢圓軌道上運轉的小天體軌道週期為：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$

${\displaystyle \mu =GM}$，〈標準重力參數〉

其中：

• ${\displaystyle a}$，是軌道半長軸的長度,
• ${\displaystyle G}$，是重力常數,
• ${\displaystyle M}$，是中心天體的質量

T：小時, R：天體半徑

若中心天體為太陽，我們可以簡單的設

${\displaystyle T={\sqrt {a^{3}}}}$

T的單位為年, a是以天文單位表示的距離。等同於克卜勒第三定律。

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