函數組合嘅連續性

函數組合嘅連續性（Combination of Continuous Function）係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係：兩個連續函數組合之後重係唔係連續。

組合就包括函數嘅處理方法，即係${\displaystyle +,-,\times ,\div ,\circ }$。

點連續計算法

假設${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$，${\displaystyle f}$同${\displaystyle g}$都係函數，${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$係一點實數。

假設${\displaystyle c\in A}$係${\displaystyle A}$入面嘅一點，咁${\displaystyle f}$同${\displaystyle g}$喺${\displaystyle c}$呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅：

• ${\displaystyle f+g,f-g,fg,bg}$都會喺${\displaystyle c}$呢點度連續。
• 再假設${\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }$喺${\displaystyle c\in A}$呢點度係連續嘅，同埋${\displaystyle h(x)\neq 0,\forall x\in A}$，咁${\displaystyle {\frac {f}{h}}}$都係喺${\displaystyle c}$呢點度連續。

證明

根據假設得知，${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$同埋${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=g(c)}$。

咁利用函數極限嘅計算法則得知，

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)+g(x)=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=f(c)+g(c)}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)-g(x)=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=f(c)-g(c)}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times \lim _{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)}$

設${\displaystyle f(x):=b}$，咁利用上面${\displaystyle \lim _{x\to c}b\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times \lim _{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)=b\times g(c)}$。

設${\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }$喺${\displaystyle c\in A}$呢點度係連續嘅，同埋${\displaystyle h(x)\neq 0,\forall x\in A}$，咁利用函數極限嘅計算法則得知，

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle {\lim _{x\to c}f(x)}}{\displaystyle {\lim _{x\to c}g(x)}}}={\frac {f(c)}{g(c)}}}$。

因為連續函數嘅定義係，如果${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$，咁${\displaystyle f}$就係喺${\displaystyle c}$呢點度連續。

所以以上各式成立。

集上連續計算法

由點連續計算法可以推出，集上連續嘅計算法。

定理

設${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$，${\displaystyle f}$同${\displaystyle g}$都係喺集${\displaystyle A}$上面連續，${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$係一點實數。以下都會係啱嘅：

• ${\displaystyle f+g,f-g,fg,bg}$都會喺集${\displaystyle A}$上面連續。
• 再假設${\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }$喺集${\displaystyle A}$上面連續嘅，同埋${\displaystyle h(x)\neq 0,\forall x\in A}$，咁${\displaystyle {\frac {f}{h}}}$都會喺集${\displaystyle A}$上面連續。

例子

• 多項式函數：${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$係一個喺${\displaystyle \mathbb {R} }$上面連續嘅函數。
• 有理函數：設${\displaystyle p,q}$係兩個多項式函數，而且喺集${\displaystyle A}$上面連續。只要將${\displaystyle q}$嘅根除去，即係${\displaystyle x\not \in \{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}}$，${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$係${\displaystyle q}$嘅根，咁${\displaystyle q(x)\neq 0}$，得出有理函數${\displaystyle r(x):={\frac {p(x)}{q(x)}}}$喺所有${\displaystyle x}$點入面，除咗以上講嗰啲點之外，都係連續嘅。
• 因為${\displaystyle \sin }$，同${\displaystyle \cos }$都係喺${\displaystyle \mathbb {R} }$連續嘅，所以可以得知${\displaystyle \tan ,\sec ,\cot ,\sec }$都係喺某一堆點連續嘅。

絕對同開方連續函數

絕對連續函數

設${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$，${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$。定義${\displaystyle |f|}$為${\displaystyle |f|(x):=|f(x)|,\forall x\in A}$。咁以下兩條一定成立：

• 如果${\displaystyle f}$喺${\displaystyle c\in A}$呢點連續，咁${\displaystyle |f|}$都會喺${\displaystyle c\in A}$呢點連續。
• 如果${\displaystyle f}$喺集${\displaystyle A}$上面連續，咁${\displaystyle |f|}$都會喺集${\displaystyle A}$上面連續。

開方連續函數

假設${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$，${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$，${\displaystyle f}$符合${\displaystyle f(x)\geq 0,\forall x\in A}$。定義${\displaystyle {\sqrt {f}}}$為${\displaystyle {\bigl (}{\sqrt {f}}{\bigr )}(x):={\sqrt {f(x)}},\forall x\in A}$。咁以下兩條一定成立：

• 如果${\displaystyle f}$喺${\displaystyle c\in A}$呢點連續，咁${\displaystyle {\sqrt {f}}}$都會喺${\displaystyle c\in A}$呢點連續。
• 如果${\displaystyle f}$喺集${\displaystyle A}$上面連續，咁${\displaystyle {\sqrt {f}}}$都會喺集${\displaystyle A}$上面連續。

以上兩條都係可以由數列要求，推到函數極限，再引出以上兩個結果。

組合函數嘅連續性

喺連續性入面，係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$喺${\displaystyle c\in A}$呢點度連續，同埋${\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }$喺${\displaystyle b=f(c)\in B}$呢點度連續，會引伸出${\displaystyle g\circ f}$喺${\displaystyle c}$呢點度係連續。當然${\displaystyle g\circ f}$會係定義到，同埋${\displaystyle f(A)\subseteq B}$。

定理一

假設${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$，${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$同埋${\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }$，符合${\displaystyle f(A)\subseteq B}$。

如果${\displaystyle f}$喺${\displaystyle c\in A}$呢點到連續，同埋${\displaystyle g}$喺${\displaystyle b=f(c)\in B}$呢點度連續，咁${\displaystyle g\circ f}$喺${\displaystyle c}$呢點度係連續。

證明：

假設${\displaystyle W}$係${\displaystyle g(b)}$嘅${\displaystyle \varepsilon }$-鄰區。

咁因為${\displaystyle g}$喺${\displaystyle b}$度係連續，所以就會有一個${\displaystyle b=f(c)}$嘅${\displaystyle \delta }$-鄰區叫${\displaystyle V_{g}}$，使到如果${\displaystyle y\in B\cap V_{g}}$，咁${\displaystyle g(y)\in W}$。

同時，因為${\displaystyle f}$喺${\displaystyle c}$度係連續，所以就會有一個${\displaystyle c}$嘅${\displaystyle \delta }$-鄰區叫${\displaystyle V_{f}}$，使到如果${\displaystyle x\in B\cap V_{f}}$，咁${\displaystyle f(x)\in V_{g}}$。

因為${\displaystyle f(A)\subseteq B}$，所以如果${\displaystyle x\in A\cap V_{f}}$，咁${\displaystyle f(x)\in B\cap V_{g}}$。

因此，${\displaystyle g\circ f(x)=g(f(x))\in W}$。

因為${\displaystyle W}$係任意一個鄰區，咁${\displaystyle g\circ f}$就係喺${\displaystyle c}$呢點上面連續。

定理二

假設${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$，${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$同埋${\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }$，符合${\displaystyle f(A)\subseteq B}$。

如果${\displaystyle f}$喺集${\displaystyle A}$上面度連續，同埋${\displaystyle g}$喺集${\displaystyle B}$上面度連續，咁${\displaystyle g\circ f}$喺${\displaystyle c}$呢點度係連續。

睇埋

• 極限
• 連續函數
• 間上連續函數
• 保西奴中間點定理
• 統一連續