增減數列

增減數列（Monotone Sequence）係數學上其中一種數列，數列入面嘅數值只可以增加或者減少，所以叫做增減數列。

定義

假設${\displaystyle (x_{n})}$係實數列。

如果$${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots \leq x_{n}\leq x_{n+1}\leq \cdots }$$咁${\displaystyle (x_{n})}$就係增長數列（Increasing）。

如果$${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots \geq x_{n}\geq x_{n+1}\geq \cdots }$$咁${\displaystyle (x_{n})}$就係遞減數列（Decreasing）。

如果${\displaystyle (x_{n})}$係增長或者係遞減，咁佢就係一條增減數列。

增減趨向定理

假設${\displaystyle (x_{n})}$係一條增減數列而家趨向一點，咁佢一定係被綁定，反之亦然。（${\displaystyle \iff }$）同時，

如果${\displaystyle (x_{n})}$係增長數列，咁${\displaystyle \lim(x_{n})=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$。

如果${\displaystyle (x_{n})}$係遞減數列，咁${\displaystyle \lim(x_{n})=\inf\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$。

證明：

${\displaystyle (\Rightarrow )}$ 因為綁定性質，所以係啱嘅。

${\displaystyle (\Leftarrow )}$ 假設${\displaystyle (x_{n})}$係被綁定同時佢係增長數列。

因為佢係被綁定，所以會存在一個實數${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$，令到所有嘅項都符合${\displaystyle x_{n}\leq M}$。

利用實數嘅完備定理，可以知到會有一點${\displaystyle x:=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$。（想要證明到${\displaystyle x}$就係${\displaystyle (x_{n})}$趨向嗰一點）

畀任何一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，將${\displaystyle x-\varepsilon }$，並得知佢唔係${\displaystyle (x_{n})}$嘅上限，所以會有一個第${\displaystyle x_{K}}$項符合${\displaystyle x-\varepsilon <x_{K}}$。

因為${\displaystyle (x_{n})}$係增長數列，所以一定會有堆項數${\displaystyle n\geq K}$符合，${\displaystyle x_{K}\leq x_{n}}$。

因此，${\displaystyle x-\varepsilon <x_{K}\leq x_{n}\leq x\leq x+\varepsilon }$。

得出，${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon ,\,\forall n\geq K}$。

睇埋

• 數列
• 極限
• 子數列