對數定律

對數定律（Properties of Logarithms）係一套對應指數定律嘅定理。主要用嚟解指數對數方程。

定律

設${\displaystyle a}$，${\displaystyle M}$同${\displaystyle N}$都係一個正數，而且${\displaystyle a\neq 1}$，重有${\displaystyle x}$係未知數。有以下實數解：

1. ${\displaystyle \log _{a}1=0}$
2. ${\displaystyle \log _{a}a=1}$
3. ${\displaystyle \log _{a}a^{x}=x}$
4. ${\displaystyle a^{\log _{a}x}=x,x>0}$
5. ${\displaystyle \log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N}$
6. ${\displaystyle \log _{a}{\bigl (}{\frac {M}{N}}{\bigr )}=\log _{a}M-\log _{a}N}$
7. ${\displaystyle \log _{a}M^{N}=N\log _{a}M}$

證明：

(1)

利用定義，${\displaystyle a^{0}=1\iff \log _{a}1=0}$。

(2)

利用定義，${\displaystyle a^{1}=a\iff \log _{a}a=1}$。

(3)

利用定義，${\displaystyle a^{x}=a^{x}\iff \log _{a}a^{x}=x}$。

(4)

利用定義，${\displaystyle \log _{a}x=\log _{a}x\iff a^{\log _{a}x}=x}$。

(5)

利用指數定律，${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$。

根據定義，${\displaystyle \log _{a}M=m}$，${\displaystyle \log _{a}N=n}$。

組合以上兩點，${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{a}MN&=x\\a^{x}&=MN\\a^{x}&=a^{m}a^{n}\\\implies x&=m+n\\\log _{a}MN&=\log _{a}M+\log _{a}N\end{aligned}}}$。

(6)

利用指數定律，${\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}$。

根據定義，${\displaystyle \log _{a}M=m}$，${\displaystyle \log _{a}N=n}$。

組合以上兩點，${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{a}{\bigl (}{\frac {M}{N}}{\bigr )}&=x\\a^{x}&={\frac {M}{N}}\\a^{x}&=a^{m}\div a^{n}\\\implies x&=m-n\\\log _{a}{\frac {M}{N}}&=\log _{a}M-\log _{a}N\end{aligned}}}$。

(7)

利用指數定律，${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$。

根據定義，${\displaystyle \log _{a}M^{n}=y}$。

組合以上兩點，${\displaystyle {\begin{aligned}n\log _{a}M&=x\\\log _{a}M&={\frac {x}{n}}\\a^{\frac {x}{n}}&=M\\(a^{\frac {x}{n}})^{n}&=M^{n}\\a^{x}&=a^{y}\\\implies x&=y\\n\log _{a}M=\log _{a}M^{n}\end{aligned}}}$。

一般基數同自然基數分別

以下呢個表可以比較一般數字做基數同自然基數嘅分別：

常用基數（${\displaystyle f(x)=\log _{10}x}$）	自然基數（${\displaystyle f(x)=\ln x}$）
${\displaystyle \log 1=0}$	${\displaystyle \ln 1=0}$
${\displaystyle \log 10=1}$	${\displaystyle \ln e=1}$
${\displaystyle \log 10^{x}=x}$	${\displaystyle \ln e^{x}=x}$
${\displaystyle 10^{\log x}=x,x>0}$	${\displaystyle e^{\ln x}=x,x>0}$

換基數

換基數（Change of Base）就係將${\displaystyle \log }$嘅基數轉換嘅公式。

「${\displaystyle \log _{a}M={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}}$」

如果將以上公式轉去${\displaystyle 10}$做基數：

「${\displaystyle \log _{a}M={\frac {\log M}{\log a}}}$」

如果將以上公式轉去${\displaystyle e}$做基數：

「${\displaystyle \log _{a}M={\frac {\ln M}{\ln a}}}$」

證明：

根據定義，${\displaystyle \log _{a}M=x}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{a}M&=x\\a^{x}&=M\\\log _{b}a^{x}&=\log _{b}M\\x\log _{b}a&=\log _{b}M\\x&={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}\\\log _{a}M&={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}\end{aligned}}}$

化簡方程例子

化簡${\displaystyle \log _{9}1}$。

1. 設${\displaystyle \log _{9}1=x}$。
2. 利用定義重寫(1)，${\displaystyle 9^{x}=1}$。
3. 因此，${\displaystyle x=0}$。

化簡${\displaystyle \log _{a}(x^{4}y^{5})}$。

1. 直接利用定律，${\displaystyle \log _{a}(x^{4}y^{5})=\log _{a}(x^{4})+\log _{a}(y^{5})}$。
2. 再定用多一次，${\displaystyle \log _{a}(x^{4}y^{5})=4\log _{a}x+5\log _{a}y}$。

換基數例子

用計數機計算${\displaystyle \log _{5}7}$。

1. 因為計數機內定基數係${\displaystyle 10}$，所以要轉基數。
2. ${\displaystyle \log _{5}7={\frac {\log 7}{\log 5}}}$
3. ${\displaystyle \log _{5}7=1.209}$

更多例子

1. ${\displaystyle \log {\bigl (}{\frac {x^{2}-x-2}{x^{2}+3x-4}}{\bigr )}}$
2. ${\displaystyle \ln {\sqrt {\frac {x^{2}+3x-10}{x^{2}-3x+2}}}}$
3. ${\displaystyle \log _{4}19}$
4. ${\displaystyle \log _{\frac {1}{2}}5}$
5. ${\displaystyle \log _{\pi }2.7}$
6. ${\displaystyle \ln(x+1)+\ln(x-1)-2\ln(x^{2}+3)}$

睇埋

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