微分

微分（英文：differentiation，粵拼：mei4 fan1），香港口語講 d（粵拼：di1），係數學嘅一種基本運算，基本上係表示一個函數嘅變化速度，或者計某一數量響某一點嘅變化率。最簡單嘅情況係響幅圖嘅一點計斜率。微分出嚟嘅結果叫做導數。呢種運算可以推廣到向量場同埋無限細嘅變換，滲透數學。

一個函數，比如 ${\displaystyle y=f(x)}$ 嘅導函數可以表達成 ${\displaystyle y\ '}$、${\displaystyle f'(x)}$、${\displaystyle dy \over dx}$、${\displaystyle df(x) \over dx}$、${\displaystyle {d \over dx}f(x)}$ 等等。而二階導函數可以寫成 ${\displaystyle f''(x)}$、${\displaystyle d^{2}y \over dx^{2}}$。${\displaystyle k}$ 階導函數可以寫成 ${\displaystyle f^{(k)}(x)}$、${\displaystyle d^{k}y \over dx^{k}}$。

斜率同導數

如果喺平面座標上有一個嘅直線嘅函數 ${\displaystyle y=mx+c}$，由 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 去到 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 之間嘅斜率 ${\displaystyle m}$ 就係：

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

所以如果有個任意函數 ${\displaystyle y=f(x)}$ ，由 ${\displaystyle (x,f(x))}$ 去到 ${\displaystyle (x+\Delta x,f(x+\Delta x))}$之間嘅斜率就係：

${\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

微分就係要搵一個函數喺某一個輸入值嘅變化速度，所以 ${\displaystyle \Delta x}$ 會趨向 ${\displaystyle 0}$，噉樣就可以用極限嚟表示：

${\displaystyle {dy \over dx}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

呢條式又叫微分第一原理。

例如想用微分第一原理搵 ${\displaystyle y=x^{2}}$ 嘅導數：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\&=2x\end{aligned}}}$

由呢度可以推導到函數 ${\displaystyle y=ax^{n}}$ 嘅導數就係 ${\displaystyle {\frac {d(ax^{n})}{dx}}=anx^{n-1}}$，而 ${\displaystyle a}$ 同 ${\displaystyle n}$ 係常數。

偏微分

偏微分指多值函數（例如： ${\displaystyle z=f(x,y)}$）入面，淨係對其中一個變數（例如：${\displaystyle x}$）進行微分，可以表達成 ${\displaystyle \partial z \over \partial x}$。

假設有一個兩個變量嘅函數 ${\displaystyle z=x^{2}+xy+y^{2}}$ 。

當 ${\displaystyle y}$ 係常數，得到 ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}$ 。

當 ${\displaystyle x}$ 係常數，得到 ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=2y+x}$ 。

複變函數

微分方程

微分方程顧名思義係有導數嘅方程，例如 ${\displaystyle {dy \over dx}=2x+1}$。微分方程要用到不定積分去解，特定樣式嘅方程有特定唔同嘅解法。

微分式

由微分第一原理仲可以推導出下面呢啲微分嘅定律。

• 如果 ${\displaystyle y=x+c}$，咁 ${\displaystyle y}$ 嘅微分${\displaystyle {dy \over dx}=1}$。

• 若果${\displaystyle y=ax^{n}}$，${\displaystyle {dy \over dx}=anx^{n-1}}$。

• ${\displaystyle {d \over dx}(au+bv)={d \over dx}(au)+{d \over dx}(bv)=a{du \over dx}+b{dv \over dx}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}(uv)=u\cdot {dv \over dx}+v\cdot {du \over dx}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v\cdot {du \over dx}-u\cdot {dv \over dx}}{v^{2}}}}$

• 鏈式法則：${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}(e^{x})=e^{x}}$。

• ${\displaystyle {d \over dx}\ln(x)={1 \over x}}$。

交換代數

内文：微分 (代數)

睇下

• 極限
• 數學分析
• 積分
• 微積分基本定理