導數

導數（英文：derivative，香港口語叫 D）係微積分裡面好重要嘅基礎概念，可以理解成一個函數喺某一個位嘅瞬間變化。

佢嘅定義係：

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}$

參考極限。

例如 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$，求佢嘅導函數${\displaystyle f'(x)}$。

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{(x+h)^{2}-x^{2} \over h}}$，展開變咗 ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(x^{2}+2hx+h^{2})-x^{2} \over h}}$，消除咗個 ${\displaystyle x^{2}}$ 淨低 ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{2hx+h^{2} \over h}}$，約埋個 ${\displaystyle h}$ 變成 ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\{2x+h\}}$，由於 ${\displaystyle h}$ 趨向 ${\displaystyle 0}$ 所以求到 ${\displaystyle f'(x)=2x}$。

導數可以搵出條線嘅瞬間變率（instantaneous rate of change）。

基本嘅求導公式

${\displaystyle {d \over dx}\ c=0}$ ，${\displaystyle c}$ 係常數。

${\displaystyle {d \over dx}\ ax=a}$ ，${\displaystyle a}$ 係常數。

${\displaystyle {d \over dx}\ ax^{n}=anx^{n-1}}$ ，${\displaystyle a,n}$ 係常數。

${\displaystyle {d \over dx}\ \sin(x)=\cos(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \cos(x)=-\sin(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \tan(x)=\sec ^{2}(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \sec(x)=\sec(x)\tan(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \csc(x)=-\csc(x)\cot(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \cot(x)=-\csc ^{2}(x)}$。睇下三角函數。

${\displaystyle {d \over dx}\ e^{x}=e^{x}}$。睇下自然指數。

${\displaystyle {d \over dx}\ a^{x}=a^{x}\ln(a)}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \ln(x)={1 \over x}}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \log _{a}(x)={1 \over x\ln(a)}}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \sin ^{-1}(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \cos ^{-1}(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \tan ^{-1}(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\ \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}$

運算法則

• 加法：${\displaystyle [\ f(x)+g(x)\ ]'=f'(x)+g'(x)}$

• 乘法：${\displaystyle [\ f(x)\ g(x)\ ]'=f'(x)\ g(x)+f(x)\ g'(x)}$

證明：設 ${\displaystyle y=fg}$

${\displaystyle \ln(y)=\ln(fg)}$

${\displaystyle \ln(y)=\ln(f)+\ln(g)}$ (對數律)

${\displaystyle [\ln(y)]'=[\ln(f)+\ln(g)]'}$

${\displaystyle {y' \over y}={f' \over f}+{g' \over g}}$

${\displaystyle {y' \over y}={{f'g+fg'} \over fg}}$

${\displaystyle {(fg)' \over fg}={{f'g+fg'} \over fg}}$

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$

• 除法：${\displaystyle ({\frac {f(x)}{g(x)}})'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}$

• 連鎖律：${\displaystyle {dy \over dx}={dy \over du}{du \over dx}}$

常見問題

冪函數嘅導數同ln(x)嘅關係: 對冪函數求導，指數部分會降低1次，如

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{2}=2x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x=1}$ (呢度可以當係) ${\displaystyle x^{0}}$

但對常數繼續求導唔會變成 -1 次方，因為0乘任何數都係0，即

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}=0x^{-1}=0}$

反過嚟，從積分方向考慮

${\displaystyle \int x^{-3}dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+C_{3}}$

${\displaystyle \int x^{-2}dx={\frac {x^{-1}}{-1}}+C_{2}}$

${\displaystyle \int x^{-1}dx={\frac {x^{0}}{0}}+C_{1}}$，出現0分母，所以唔會變成0之方，正確係

${\displaystyle \int x^{-1}dx=ln(x)+C_{0}}$

即冪函數似乎同自然對數函數ln(x)有密切關係。 其實原因好簡單，ln(x)嘅極限式就有一部分係由冪函數組成:

${\displaystyle ln(x)=\lim _{n->0}{\frac {x^{n}-1}{n}}}$ 可以當成 ${\displaystyle {\frac {x^{0}-1}{0}}={\frac {x^{0}}{0}}-{\frac {1}{0}}}$ 同上面嘅積分式一樣。

可以用極限式求導：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}ln(x)}$

${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\lim _{n\to 0}{\frac {x^{n}-1}{n}}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to 0}{\frac {d}{dx}}{\frac {x^{n}-1}{n}}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to 0}{\frac {nx^{n-1}}{n}}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to 0}x^{n-1}}$

${\displaystyle =x^{-1}}$

結果一致。