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定理

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定理(英語:Theorem)是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說,在數學中,只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有(全称)元素一种不变的关系,这些元素可以是无穷多,它们在任何时刻都无区别地成立,而没有一个例外。(例如:某些,某些,就不能算是定理)。

猜想是相信為真但未被證明的數學敘述,或者叫做命题,當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源,但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程,成為定理。

如上所述,定理需要某些邏輯框架,繼而形成一套公理公理系統)。同時,一個推理的過程,容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

命題邏輯,所有已證明的敘述都稱為定理。

各種數學敘述(按重要性來排列)

  1. 數學原理
  2. 公理(也稱公設)-公理是沒有經過證明,但被當作不證自明的一個命題
  3. 定理
  4. 命題-通常,命題是一個可以判斷陳述句,亦有既的命題(悖論)。
  5. 推論(也稱系、系理)-一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A,命題A為命題B的推論。
  6. 引理(也稱輔助定理補理)-某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長,例如舒尔引理
  7. 假說-根據已知的科學事實和科學原理,對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。

結構

定理一般都有许多條件。然後有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件,則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

逆定理

若存在某敘述為,其逆敘述就是。逆敘述成立的情況是,否則通常都是倒果為因,不合常理。若果敘述是定理,其成立的逆敘述就是逆定理

  • 若某敘述和其逆敘述都為真,條件必要且充足。
  • 若某敘述為真,其逆敘述為假,條件充足。
  • 若某敘述為假,其逆敘述為真,條件必要。

逻辑中的定理

逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合,并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段,由此我们可以给定理一个更准确的表达(这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理,通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理)。定理在逻辑中的定义︰

一个定理是一个含有由建立于语言集合上的命题(-命題)组成的非空集合

这个定理(或这个命题集合)我们记作,这些建立于语言集合上的命题必须符合如下属性:

对所有在中的命题,如果,那么

比如一个永真命题集合是一个定理,这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合上的定理中。此外,我们说一个定理是另外一个定理扩展(extension),前提是该定理包含定理


有一个命题集合,我们將一个包含的集合记作,那麽 。显而易见,所以是一个定理。比如我们有一个集合有三个基于语言上的命题,其中是常数符号,是函数符号。三个命题如下:

那么如果有,則的定理。当然,如果是两个命题集合且满足,那么


我们说一个定理完整的(Complete),当且仅当对于和一样构建在同样语言集合上的所有命题,要么,要么

注意:这个概念不能和定理完备性(Completude)混淆,完备性是证明在定理中的永真命题是递推可枚举的(recursivement enumerable),但是不能说它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如一个空集合的定理是所有真命题集合,但是不是完整的。假如有命題,对于来说,它既不是永真命题,也不是永假命题,它是一个可满足式的命题,也就是说。因此,所以我们说不是完整的。 一个定理称作是稳健的(Consistante),当且仅当。我们说对所有的解释(Interpretation)是一个定理,并且既是稳健的又是完整的。

参考文献

参见

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