張量
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張量(英語:Tensor)在数学中是一个代数对象,描述了与向量空间相关的代数对象集之间的多重线性映射。张量可以作为不同的对象之间的映射,例如向量、标量,甚至其他张量。张量有很多种类型,包括标量和向量、对偶向量、向量空间之间的多重线性映射,甚至还有一些运算,例如点积。张量的定义独立于任何基,尽管它们通常由与特定坐标系相关的基中的分量来表示;这些分量形成一个数组,可以将其视为高维矩阵。維空間上的階張量有個分量,也稱為該張量的秩(与矩阵的秩和阶均无关系)。
在同构的意义下,第零階張量()為純量,第一階張量()為向量, 第二階張量()則成為矩陣。例如,对于3维空间,时的张量为此向量:。張量不仅仅是由一定数量的分量組成的数组,在坐標變換時,張量的分量也依照某些規則作線性變換。由於變換方式的不同,張量分成「協變張量」(指標在下者)、「逆變張量」(指標在上者)、「混合張量」(指標在上和指標在下兩者都有)三類。張量的抽象理論是線性代數分支,現在叫做多重線性代數。
張量在物理和工程學中很重要。例如在扩散张量成像中,表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。工程上的例子有应力张量和应变张量,它们都是二阶张量,对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。
张量在物理学中提供了一个简明的数学框架用来描述和解决力学(应力、弹性、流体力学、惯性矩等)、电动力学(电磁张量、麦克斯韦张量、介电常数、磁化率等)、广义相对论(应力-能量张量、曲率张量等)物理问题。在应用中,数学家通常会研究在物体的不同点之间的张量变化。例如,一个物体内的应力可能因位置不同而改变。这就引出了张量场的概念。在某些领域,张量场十分普遍以至于它们通常被简称为“张量”。