朗伯W函数
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朗伯W函数(英語:Lambert W function,又称为欧米加函数或乘积对数),是的反函数,其中
是指数函数,
是任意复数。对于任何复数
,都有:
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/Lambertw.png)
由于函数不是单射,因此函数
是多值的(除了0以外)。如果我们把
限制为实数,并要求
是实数,那么函数仅对于
有定义,在
内是多值的;如果加上
的限制,则定义了一个单值函数
(见图)。我们有
,
。而在
内的
分支,则记为
,从
递减为
。
朗伯函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途,例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程,也出现在某些微分方程的解中,例如
。
复平面上的朗伯W函数的函數圖形