数学分支序理论中,預序集子集
的極大元(英語:maximal elements)不小於
的任何元素。極小元(minimal elements)可對偶地定義,其不大於
的任何元素。
60的因數集
,以整除關係為偏序,所成的哈斯圖。紅色子集
有兩個極大元
、
和一個極小元
。
同時也是最小元。
極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集
的最大元需要「大於或等於」
的全體元素(最小元同樣為其對偶),極大元則衹需「不小於」(例如不可比較)。若將預序集限縮至偏序集,則至多衹有一個最大元和一個最小元,但極大、極小元皆可有多於一個。[1][2]但在全序集上,最大等價於極大,最小亦等價於極小。
以集族
![{\displaystyle S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14de823bf5fb8c5431468e53b721fc83d4bf678d)
為例,其上的偏序為包含關係。當中
極小,因為不包含族中任何其他集合,反之
極大,因為不被其他集合包含。
則既非極小亦非極大,但
同時為極小、極大。相比之下,
無最大元和最小元。