模型论
從數理邏輯的角度對數學結構的一類研究 / 維基百科,自由的 encyclopedia
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模型论(英語:Model theory)一般是指数学中集合论的论述角度对数学概念表现(representation)的研究,或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说,该学科假定有一些既存的数学“對象”,然后研究:当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时,可以相应证明出什么,以及如何证明。
比如实数理论中一个模型论概念的例子是:我们从一个任意集合开始,作为集合元素的每个个体都是一个实数,其间有一些关系和(或)函数,例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题,显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数y,即所谓2的平方根;对于有理数,该陈述却并不成立。一个类似的命题,"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立,却在复数中成立,因为i × i = 0 − 1。
模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的,以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。
现在模型论(及其方法)已经广泛地应用于其它数学分支甚至理论计算机与工程计算中。例如Hrushovski用模型论方法证明了代数几何中的Mordell-Lang猜想。