黄金矩形

黄金矩形是長寬比為黄金比${\displaystyle \varphi }$的矩形。

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...}$

1.6180339887498948...
	1

特性

以黄金矩形短邊為邊長畫一正方形，減去正方形即得小黄金矩形：

設黄金矩形短邊為${\displaystyle b}$，長邊${\displaystyle a}$為${\displaystyle \varphi b}$
若以黄金矩形短邊為邊長畫一正方形，則長邊剩下的長度為

${\displaystyle a-b=(\varphi -1)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1\right)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)b={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}b={\frac {1}{\varphi }}b}$

${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$和${\displaystyle {\tfrac {b}{a-b}}}$的比均為${\displaystyle \varphi }$，所組成的矩形仍為黄金矩形。

繪製

黃金矩形畫法

黃金矩形可以尺規作圖來繪製

1. 畫一正方形
2. 以方形任一邊的中點為圓心，到對角長（即切割出來的長方形的對角線）為半徑畫弧
3. 把該邊延長到上步所畫的弧即完成黃金矩形的長邊
4. 完成剩餘部份

原理

黃金比等於

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1}$

約等於162：100

同乘2等於

${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}:2}$

約等於162：100

將正方形一邊看作2
由中點到對角長的長度即是${\displaystyle {\sqrt {5}}}$（由勾股定理求出），故所求出的長邊即是${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$

参看

• 黄金螺线