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哥德尔不完备定理属于维基百科數學主题的基礎條目扩展。请勇于更新页面以及改進條目。 本条目页属于下列维基专题范畴: |
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整个翻译终于完成了,但还有些不满意的地方。因本人水平有限,翻译的粗糙、输入错误当然在所难免,最重要的还是涉及到的众多人名。因为不是专家,所以也不知道规范的译名应该是什么,所以很多时候只能保留英文原名。不过我相信有了我的抛砖引玉的工作之后,专家们会来一一指正的。这也就是维基百科存在的意义吧。
注:此疑问亦在“哥德尔不完备定理”的讨论页中提出http://zh.wikipedia.org/wiki/Talk:%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86
“象F(x)这样的公式含有一个自由变量x,它们称为命题形式。一旦x被一个特定的数代替,它就马上变成一个真正的特定命题,于是它要么是在系统中可证明的,要么不。命题形式自身并不是命题,因此不能被证明也不能能被否证。但每一个命题形式F(x)都有一个哥德尔数,可用G(F)表示。无论自由变量取什么值,G(F)的取值都不会改变。
通过小心地分析系统的公理和推理规则,可以写下一个命题形式P(x),它表示x是系统中一个可以证明的命题的哥德尔数。形式描述如下:如果x是一个可证明命题对应的哥德尔数,P(x)就可被证明,而其否定~P(x)则不能。(尽管这对于一个证明要点来说已经足够,但在数学上却不太严格。请参见哥德尔和罗素的有关论文,关键字是“omega-consistency”。 现在,哥德尔的把戏来了:一个命题形式F(x)称为不可自证的,当且仅当把命题形式F的哥德尔数G(F)代入F中所得的命题F(G(F))是不可证明的。这个定义可以形式化,于是可以构造一个命题形式SU(z),表示z是某个不可自证命题形式的哥德尔数。SU(z)的形式描述如下: 对某个命题形式F(x)有z = G(F),而且设y是命题F(G(F))的哥德尔数,则有~P(y)成立。”
以上是难以理解的自相矛盾的。
在此之前,由于对原文的进一步理解可能导致歧义,为了避免歧义我先做如下语法规定:
为了区别F是作为命题形式的一部分还是作为变量(只是这里的变量F是命题形式), 我把所有命题形式中的变量用*代替以明确 (下文中引号内是引用原文故不一定遵守此语法规定,而引号外遵守此语法规定) 在这种语法规定下,G(F)和G(F(*))是不同的, G(F)是个命题,F是赋予变量的值,命题形式是G(*); G(F(*))是命题形式,*是变量,赋值x后的命题是G(F(x)), 于是又存在一个问题:原文中的“G(F)”是G(F)还是G(F(*)),
假设原文隐含的运算法则是:一个命题F(x)的哥德尔数G(F(x))=G(F(*)),从而命题也有了哥德尔数,等于该命题的命题形式的哥德尔数。则由此推出原文的表达有2种可能的歧义
Tammico (留言) 2008年11月29日 (六) 11:25 (UTC)
如果p可以证明,于是SU(G(SU))为真,根据SU的定义,z = G(SU)就是某个不可自证命题形式的哥德尔数。于是SU就是不可自证的,根据不可自证的定义,SU(G(SU))是不可证明的。这一矛盾说明p是不可证明的。
这里的第一个推导似乎依赖于公理系统的可靠性(Soundness),而可靠性强于相容性(Consistency)。以可靠性为前提的不完备定理是被弱化了的版本,希望有逻辑学的专业人士确认这里是不是有问题。
各位维基人:
我刚刚修改了哥德尔不完备定理中的1个外部链接,请大家仔细检查我的编辑。如果您有疑问,或者需要让机器人忽略某个链接甚至整个页面,请访问这个简单的FAQ获取更多信息。我进行了以下修改:
有关机器人修正错误的详情请参阅FAQ。
本文原文中的“相容”(consistent),在简体中文版本中会被自动转换为“兼容”,这是不对的。我见过的简体中文资料一般称为“一致”。我不确定简体中文是否也使用“相容”一词,所以暂不贸然修改。MaigoAkisame(留言) 2020年9月16日 (三) 00:35 (UTC)
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