線性函數

在數學裏，線性函數（又称一次函数）在不同的領域中有多於一个用途和含意。

提示：此条目的主题不是线性映射。

初等數學用法

主条目：函數

三個線性函數的圖形都是直線。紅色與藍色直線的斜率相同。紅色與綠色直線的y-截距相同。

在初等代數與解析幾何，線性函數是只擁有一個变数的一階多項式函数或者是只有常数的函数，因為在直角坐標系中這些函数的图形是直線。所以，這些函數是線性的。線性函數可以表達為斜截式：

${\displaystyle f(x)=kx+b\,\!}$ （${\displaystyle k}$为常数且${\displaystyle k}$≠${\displaystyle 0}$）；

其中， ${\displaystyle k\,\!}$ 是斜率， ${\displaystyle b\,\!}$ 是y-截距，即函數的圖形與y-軸（英语：y-axis）相交的y-坐標（英语：y-coordinate）。改變斜率 ${\displaystyle k\,\!}$ 會使直線更陡峭或平緩。改變y-截距 ${\displaystyle b\,\!}$ 會將直線向上或下平移。

以下三個直線函數的圖形展示於圖右：

• ${\displaystyle f_{1}(x)=2x+1\,\!}$ ，
• ${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {x}{2}}+1\,\!}$ ，
• ${\displaystyle f_{3}(x)={\frac {x}{2}}-1\,\!}$ 。

当${\displaystyle k}$或${\displaystyle b}$不同时，一次函数经过的象限也不同，见下表：

k的值	b的值	经过象限	图像
${\displaystyle k>0}$	${\displaystyle b>0}$	第一、二、三象限
${\displaystyle k>0}$	${\displaystyle b=0}$	第一、三象限
${\displaystyle k>0}$	${\displaystyle b<0}$	第一、三、四象限
${\displaystyle k<0}$	${\displaystyle b>0}$	第一、二、四象限
${\displaystyle k<0}$	${\displaystyle b=0}$	第二、四象限
${\displaystyle k<0}$	${\displaystyle b<0}$	第二、三、四象限

高等數學用法

主条目：線性關係

在高等數學裏的線性代數中，線性函數是一種線性映射，是在兩個向量空間之間，維持向量加法與純量乘法的映射。

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} )}$

例如我們用坐標向量（英语：coordinate vector） 來表示 ${\displaystyle x\,\!}$ 與 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ ，那麼線性函數可以表達成

${\displaystyle f(x)=\mathrm {M} x\,\!}$，當中${\displaystyle M\,\!}$ 為矩陣。

參見

• 仿射变换
• 等差数列