二项式级数

二项式级数是二项式定理的推广，适用于幂不是正整数的情况：

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\!{\binom {\alpha }{k}}x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

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當${\displaystyle \alpha }$是任意复数時，右侧的幂级数可以用二项式係數表示。

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

二项式级数是函数的泰勒級數。 ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$当${\displaystyle |x|<1}$ 时，它会收敛。

如果α是非负整数n，则级数中的第x^{n + 1}项及之后的所有项均为0 。在这种情况下，该级数是一个有限多项式。

參考來源

• Abel, Niels, Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m − 1)/1.2)x² + (m(m − 1)(m − 2)/1.2.3)x³ + ..., Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1826, 1: 311–339
• Coolidge, J. L., The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly, 1949, 56 (3): 147–157, JSTOR 2305028, doi:10.2307/2305028