伯努利分布

伯努利分布（英語：Bernoulli distribution），又名两点分布或者0-1分布，是一個離散型概率分布，為紀念瑞士科學家雅各布·伯努利而命名。若伯努利試驗成功，則伯努利隨机變量取值為1。若伯努利試驗失敗，則伯努利隨机變量取值為0。記其成功概率為${\displaystyle p(0\leq p\leq 1)}$，失敗概率為${\displaystyle q=1-p}$。^[1]則

• 其概率質量函數為：

  • ${\displaystyle f_{X}(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{if }}x=1,\\q\ &{\mbox{if }}x=0.\\\end{matrix}}\right.}$

• 其期望值為：

  • ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=0}^{1}x_{i}f_{X}(x)=0+p=p}$

• 其方差為：

  • ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i=0}^{1}(x_{i}-\operatorname {E} [X])^{2}f_{X}(x)=(0-p)^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)=pq}$

伯努利分布

参数	${\displaystyle 1>p>0\,}$（实数）
值域	${\displaystyle k=\{0,1\}\,}$
概率质量函数	${\displaystyle {\begin{matrix}q&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}}$
累積分布函數	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}}$
期望值	${\displaystyle p\,}$
中位數	N/A
眾數	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}}$
方差	${\displaystyle pq\,}$
偏度	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
峰度	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
熵	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,}$
矩生成函数	${\displaystyle q+pe^{t}\,}$
特徵函数	${\displaystyle q+pe^{it}\,}$

伯努利分布的图像表示