全形 (數學)

在數學的群論中，一個群G的全形Hol(G)是一個特定的群，同時包含群G和其自同構群Aut(G)。群的全形可用半直積或交換群來描述。

以半直積描述

記群G的自同構群為Aut(G)，則G的全形Hol(G)是

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

其中的外半直積是對於Aut(G)在G上的自然作用，因此全形上的運算如下：令${\displaystyle (g,\alpha ),(h,\beta )}$為Hol(G)的元，其中g, h是G的元，${\displaystyle \alpha ,\beta }$是G的自同構，則

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g\alpha (h),\alpha \beta )}$。

以交換群描述

群G以左乘和右乘作用在自身的元素上，定義出兩個從G到G上的對稱群Sym(G)的群同態。左乘對應的群同態為

${\displaystyle \lambda :\ G\to \operatorname {Sym} (G)}$，${\displaystyle \lambda (g)(h)=g\cdot h}$；

右乘對應的群同態為

${\displaystyle \rho :\ G\to \operatorname {Sym} (G)}$，${\displaystyle \rho (g)(h)=h\cdot g^{-1}}$。

這兩個群同態稱為G的左及右正規表示，並且都是單射（凱萊定理）。換言之，G同構於${\displaystyle \lambda (G)}$和${\displaystyle \rho (G)}$。G的全形${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)}$是${\displaystyle \lambda (G)}$在${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$中的正規化子。

參考

• Hall, Marshall, Jr., The theory of groups, Macmillan, 1959, MR0103215