八維正九胞體

在几何学中，八维正九胞体（enneazetton或ennea-8-tope）是一种自身对偶的正八维多胞体（英语：8-polytope）^[1]， 是八维空间的单纯形。八维正九胞体是八维空间中最简单的正图形，因此又称为8-单纯形（8-simplex）^[2]。八维正九胞体由9个七维正八胞体的七维胞（维基数据：Q18028567）组成，其二面角为cos⁻¹(1/8)约为82.82°^[1]。乔纳森·鲍尔斯（Jonathan Bowers）将八维正九胞体缩写为ene^[3]。

正九胞体
类型	正八维多胞体（英语：8-polytope） 九胞体
家族	单纯形
维度	八维
对偶多胞形	八维正九胞体（自身对偶）
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{3,3,3,3,3,3,3}
性质
七维胞	9个七维正八胞体
六维胞	36个六维正七胞体
五维胞	84个五维正六胞体
四维胞	126个正五胞体
胞	126个正四面体
面	84个正三角形
边	36
顶点	9
欧拉示性数	0
特殊面或截面
皮特里多边形	正九边形
组成与布局
顶点图	七维正八胞体
对称性
对称群	A8 [3,3,3,3,3,3,3]
特性
凸

命名

八维正九胞体是一种八维单纯形，因此也称为8-单纯形，由于其具有9个七维胞（维基数据：Q18028567），因此又称为九-七维胞体（英语：enneazetton）^[4]，其中，九（英语：ennea-）表示其有九个维面，七维胞（英语：zett-）表示其由七维胞体构成，然后加一个体（英语：-on）。^[4]

性质

八维正九胞体共由9个顶点、36条边、84个三角形的面、126个正四面体的三维胞、126个正五胞体的四维胞（英语：4-face）、84个五维正六胞体的五维胞（维基数据：Q18028552）、36个六维正七胞体的六维胞（维基数据：Q18028565）和9个七维正八胞体的七维胞（维基数据：Q18028567）组成，其中七维正八胞体为八维正九胞体的维面。 若一个八维正九胞体的棱长为1，则其外接八维超球的半径为${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$、内切八维超球的半径为${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$。^[1]

构造

八维正九胞体可以看做是在八维空间中以七维正八胞体为底的锥体，即八维正九胞体可以透过将七维正八胞体置于八维空间中，并在正八胞体所在的七维空间外取一点，将七维正八胞体的每个顶点连结该点构成，因此八维正九胞体又称为八胞体八维锥（octaexal pyramid）。^[1]

体积与表面积

八维正九胞体是一个八维空间几何体，因此其体积为八维空间超体积，单位为八次方单位。边长为a的八维正九胞体，其超体积为：^[1]

${\displaystyle V={\frac {1}{215040}}a^{8}\approx 0.0000046503a^{8}}$

表面积是指将一个几何体表面维面的几何大小的和。在三维空间中，表面积为每个面之面积的总和。而八维正九胞体是一个八维空间几何体，因此其表面积为九个七维八胞体之超体积的和，单位为七次方单位。边长为a的八维正九胞体，其超表面积为：^[1]

${\displaystyle V={\frac {1}{2240}}a^{7}\approx 0.00044643a^{7}}$

顶点坐标

若一个八维正九胞体几何中心位于原点，且边长为2单位长，则其顶点坐标为：

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

在九维空间中，八维正九胞体的顶点坐标可以简化为(0,0,0,0,0,0,0,0,1)的全排列。这是因为八维正九胞体是九维正轴体（英语：9-orthoplex）的维面。^[5]

正交投影

八维正九胞体的骨架图可以投影到具有九个顶点的四角锥反角柱

正交投影

Ak考克斯特平面	A8	A7	A6	A5
投影
二面体群对称	[9]	[8]	[7]	[6]
Ak考克斯特平面	A4	A3	A2
投影
二面体群对称	[5]	[4]	[3]