公理化集合论

在數學中，公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。

嚴謹集合論的源起

集合論的公理

集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統，称為Zermelo-Fraenkel集合論（ZF）。實際上，這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理，當包括了選擇公理，這套系統被稱為ZFC。

1. 外延公理：（Axiom of extensionality）兩個集合相同，若且唯若它們擁有相同的元素。
2. 分類公理：（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或稱子集公理，給出任何集合及命題 ${\displaystyle P(x)}$，存在一個集合，其元素为原來集合中所有使 ${\displaystyle P(x)}$ 成立的元素。
3. 配對公理：（Axiom of pairing）对任意集合 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$，存在集合 ${\displaystyle \{x,y\}}$，其僅有元素为 ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle y}$。
4. 並集公理：（Axiom of union）每一個集合有一個並集。即对任意集合 ${\displaystyle x}$，存在集合 ${\displaystyle y}$，其元素正是 ${\displaystyle x}$ 的元素的元素。
5. 空集公理：存在著一個没有任何元素的集合，我們記這個空集合為{ }。可由分類公理得出。
6. 無窮公理：（Axiom of infinity）存在著一個集合 ${\displaystyle x}$，空集{ }為其元素之一，且對於任何 ${\displaystyle x}$ 中的元素 ${\displaystyle y}$，${\displaystyle y\cup \{y\}}$ 也是 ${\displaystyle x}$ 的元素。
7. 替代公理：（Axiom schema of replacement）
8. 冪集公理：（Axiom of power set）每一個集合有其冪集。即對於任何集合 ${\displaystyle x}$，存在一個集合 ${\displaystyle y}$，其元素是 ${\displaystyle x}$ 的所有子集。
9. 正規公理：（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一個非空集合 ${\displaystyle x}$ 總有一元素 ${\displaystyle y}$ 與 ${\displaystyle x}$ 不相交。
10. 選擇公理：（Axiom of choice，Zermelo's version）給出一個集合 ${\displaystyle x}$ ，其元素皆為互不相交的非空集，那總存在著一個集合 ${\displaystyle y}$（${\displaystyle x}$ 的一個選擇集合），${\displaystyle x}$ 的每一個元素都有且仅有一個元素属于 ${\displaystyle y}$。

命題在ZFC中的獨立性

引用

• Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
• Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.
• Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

参见

• 可替代的集合論
• ℶ 數
• 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
• 對角論證法
• 康托爾定理
• Implementation of mathematics in set theory
• Internal set theory
• Kripke-Platek set theory with urelements
• List of set theory topics
• 模型論
• Morse-Kelley set theory
• 樸素集合論
• 新基礎集合論
• Simple theorems in the algebra of sets
• 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論
• Zermelo-Fraenkel 集合論
• 佐恩引理
• 公理化數學
• ZFC系統無法確定的命題列表

外部链接

• Metamath （页面存档备份，存于互联网档案馆）: A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica done right.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Set Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Thomas Jech.
  • Quine's New Foundations （页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Thomas Forster.
  • Alternative axiomatic set theories^{[失效連結]} -- by Randall Holmes.
• Randall Holmes's bibliography （页面存档备份，存于互联网档案馆） for set theories allowing a universal set.
• Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory." Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to 新基礎集合論.
• Axioms of Set Theory at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）

For information on the history of set theory notation, see:

• The history of set theory and logic notation.