凸包

在一个实数向量空間${\displaystyle V}$中，对于给定集合${\displaystyle X}$，所有包含X的凸集的交集${\displaystyle S}$被称为${\displaystyle X}$的凸包。

${\displaystyle S:=\bigcap _{X\subseteq K\subseteq V \atop K\ \mathrm {is\ convex} }K.}$

凸包（Convex hull）：彈性繩帶的類比。

${\displaystyle X}$的凸包可以用${\displaystyle X}$内所有点${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$的线性组合来构造。

${\displaystyle S:=\left\{\left.\,\sum _{j=1}^{n}t_{j}x_{j}\,\right|x_{j}\in X,\,\sum _{j=1}^{n}t_{j}=1,\,t_{j}\in \lbrack 0,1\rbrack \,\right\}.}$

在二维欧几里得空间中，凸包可想象為一條剛好包著所有點的橡皮圈。

演算法

增量式算法

逐次將點加入，然後檢查之前的點是否在新的凸包上。由於每次都要檢查所有之前的點，時間複雜度為${\displaystyle O(n^{2})}$。

包裹法（Jarvis步进法）

首先由一點必定在凸包的點開始，例如最左的一點${\displaystyle A_{1}}$。然後選擇${\displaystyle A_{2}}$點使得所有點都在${\displaystyle A_{1}A_{2}}$的右方，這步驟的時間複雜度是${\displaystyle O(n)}$，要比較所有點以${\displaystyle A_{1}}$為原點的極坐標角度。以${\displaystyle A_{2}}$為原點，重覆這個步驟，依次找到${\displaystyle A_{3},A_{4},...,A_{k},A_{1}}$。這總共有${\displaystyle k}$步。因此，時間複雜度為${\displaystyle O(kn)}$。

葛立恒（Graham）扫描法

由最底的一點${\displaystyle A_{1}}$開始（如果有多个这样的点，那么选择最左边的），計算它跟其他各點的連線和x軸正向的角度，按小至大將這些点排序，稱它們的對應點為${\displaystyle A_{2},A_{3},...,A_{n}}$。這裡的時間複雜度可達${\displaystyle O(n\log {n})}$。

考慮最小的角度對應的點${\displaystyle A_{3}}$。若由${\displaystyle A_{2}}$到${\displaystyle A_{3}}$的路徑相對${\displaystyle A_{1}}$到${\displaystyle A_{2}}$的路徑是向右轉的（可以想象一個人沿${\displaystyle A_{1}}$走到${\displaystyle A_{2}}$，他站在${\displaystyle A_{2}}$時，是向哪邊改變方向），表示${\displaystyle A_{3}}$不可能是凸包上的一點，考慮下一點由${\displaystyle A_{2}}$到${\displaystyle A_{4}}$的路徑；否則就考慮${\displaystyle A_{3}}$到${\displaystyle A_{4}}$的路徑是否向右轉……直到回到${\displaystyle A_{1}}$。

這個演算法的整體時間複雜度是${\displaystyle O(n\log {n})}$，注意每點只會被考慮一次，而不像Jarvis步进法中會考慮多次。

這個演算法由葛立恆在1972年發明。^[1]它的缺點是不能推廣到二維以上的情況。

單調鏈

將點按x坐標的值排列，再按y坐標的值排列。

選擇x坐標為最小值的點，在這些點中找出y坐標的值最大和y坐標的值最小的點。對於x坐標為最大值也是這樣處理。將兩組點中y坐標值較小的點連起。在這條線段下的點，找出它們之中y坐標值最大的點，又在它們之間找x坐標值再最小和最大的點……如此類推。

時間複雜度是${\displaystyle O(n\log {n})}$。

分治法

將點集X分成兩個不相交子集。求得兩者的凸包後，計算這兩個凸包的凸包，該凸包就是X的凸包。時間複雜度是${\displaystyle O(n\log {n})}$。

快包法（Akl-Toussaint启发式）

選擇最左、最右、最上、最下的點，它們必組成一個凸四邊形（或三角形）。這個四邊形內的點必定不在凸包上。然後將其餘的點按最接近的邊分成四部分，再進行快包法（QuickHull）。

各种星形多面体的凸包

多面体名称	凸包
小星形十二面体	正二十面体
大十二面体	正二十面体
大星形十二面体	正十二面体
大二十面体	正十二面体

應用

• 圖象處理
• 模式識別
• 地理信息系統