假設一剛體呈純旋轉運動,其附體參考系B也會跟著旋轉,因此,對於任意向量
,從這附體參考系B與從空間參考系S觀測,會得到不同的結果。假設附體參考系B
與空間參考系S
同原點。對於這些參考系,三維含時向量
分解為
。
對於時間的導數為
。
單獨計算附體參考軸對於時間的導數:
;
其中,
是方向餘弦對於時間的導數。
由於
垂直於
,
只能是其他兩個單位向量的線性組合:
;
其中,
是列維-奇維塔符號,
是係數。
對於任意
,
單位向量
與
的內積對於時間的導數為

所以,
的下標
多餘無用,可以刪除,變為
:
。
思考
方程式最右邊項目
,對換傀標
,可以得到
。
向量
是由三個係數
、
、
組成,對應於附體參考系的三個參考軸
、
、
,係數數值可以從歐拉角計算求得:
、
、
。
試想對應於歐拉角
、
、
的三個旋轉軸分別為
、
、
,三個角速度分別為
、
、
。
這三個角速度的向量和,對於附體參考系B的分量分別為
、
、
。
注意到附體參考系B的
、
、
就是歐拉角的
、
、
,所以,向量
是附體參考系B旋轉的角速度。
總結,向量
對於時間的導數為
。
設定
、
分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量
對於時間的導數,上述方程式可以表達為
。
項目
可以想像為,從空間參考系S觀測,剛體內部位置向量為
的質點,由於剛體旋轉而產生的速度。
向量
是任意向量,因此可以將
、
當作算符,這樣,對應的算符方程式的形式為:
。
這算符方程式可以作用於任意含時向量。