包絡線

包絡線（Envelope）是幾何學裡的概念，代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。）

建立曲線族的包絡線。

設一個曲線族的每條曲線${\displaystyle C_{s}}$可表示為${\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}$，其中${\displaystyle s}$是曲線族的參數，${\displaystyle t}$是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由${\displaystyle s\mapsto (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}$得出，其中${\displaystyle h(s)}$以以下的方程求得：

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}$

若曲線族以隱函數形式 ${\displaystyle F(x,y,s)=0}$ 表示，其包絡線的隱方程，便是求下面兩個方程的解x和y之隱函數關係。

${\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s}}=0\end{cases}}}$

繡曲線是包絡線的例子。直線族${\displaystyle (A-s)x+sy=(A-s)(s)}$（其中${\displaystyle A}$是常數，${\displaystyle s}$是直線族的變數）的包絡線為拋物線。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

證明

設曲線族的每條曲線${\displaystyle C_{s}}$為${\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}$。

設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切，對於任意的${\displaystyle s}$，設${\displaystyle (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}$表示${\displaystyle C_{s}}$和包絡線相切的那點。由此式可見，${\displaystyle s}$是包絡線的變數。要求出包絡線，就即要求出${\displaystyle h(s)}$。

在${\displaystyle C_{s}}$的切向量為${\displaystyle <{\frac {\partial x}{\partial t}},{\frac {\partial y}{\partial t}}>}$，其中${\displaystyle t=h(s)}$。

在E的切向量為${\displaystyle <{\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}}>}$。因為${\displaystyle x}$是${\displaystyle s}$和${\displaystyle t}$的函數，而此處${\displaystyle t=h(s)}$，局部求導有：

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {dh}{ds}}+{\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {ds}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}}}$

類似地得 ${\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}}}$。

因為${\displaystyle E}$和${\displaystyle C_{s}}$在該點相切，因此其切向量應平行，故有

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}})}$

其中${\displaystyle \lambda \neq 0}$。可用此兩式消去${\displaystyle h'(s)}$。整理後得： ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}$

參考

• https://web.archive.org/web/20070621035057/http://www.math.neu.edu/~bridger/Envelope/envelope.htm

參見

• 克萊羅方程

外部連結

• Special Plane Curves: Envelope （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Envelopes of Lines and Circles （页面存档备份，存于互联网档案馆）