卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程

卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程(Kadomtsev-Petviashvili equation)，简称KP方程，是1970年苏联物理学家波里斯·卡东穆塞夫 和弗拉基米尔-彼得韦亚斯维利创立以模拟非线性波动的非线性偏微分方程^[1]：

${\displaystyle \displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0}$

这张在法国大西洋岸雷岛（RHE）鲸鱼灯塔拍摄的照片，显示浅海上田字形的椭圆余弦波列。这种浅水中的孤波可以由卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程模拟。

其中 ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$.

解析解

卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程有解析解^[2]

行波解

${\displaystyle u(x,y,t)=C5+12.*_{C}2*\tanh(_{C}1+_{C}2*x+_{C}3*y-(.50000000000000000000*(8.*_{C}2^{4}+_{C}3^{2}))*t/_{C}2)}$

代人参数： C5 = 1, _C1 = 0, _C2 = 1, _C3 = 3

得：${\displaystyle u=1+12.*tanh(x+3*y-8.5000000000000000000*t)}$

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  Kadomtsev-Petviahivili equation 3D plot
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  Kadomtsev-Petviashivili pde animation

Sech 函数亮孤立子解

利用sech函数展开法可得卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程的sech函数解和tanh函数解^[3]。

${\displaystyle u:=a*sech(a*x+b*y+c*z-(a^{4}+3*b^{2}+3*c^{2})/a)*t}$

参数：a = -2 .. 2, b = -2 .. 2, c = 0

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  Kadomtsev Petviashivili pde sech solution 3d plot
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  卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程sech函数亮孤立子

tanh 函数解

${\displaystyle u:=2*a^{2}*tanh(a*x+b*y+(8*a^{4}-3*b^{2})/a)^{2}*t}$^[4]。

参数：a = 2, b = -2；

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  KP方程暗tanh函数暗孤立子

雅可比橢圓函數解

通过朗斯基行列式展开法可得卡东塞穆夫-彼得韦亚斯维利方程多个雅可比橢圓函數解^[5]。

${\displaystyle u4:={\frac {(-4*m^{2}*k[1]^{2}*g)}{({\sqrt {1-m^{2}}}*sn(\xi [1],k)*sin(\xi [2])+dn(\xi [1],k)*cos(\xi [2])*cn(\xi [1],k))^{2})}}}$

其中：

${\displaystyle g=(m^{2}-1)*sn(\xi [1],k)^{2}+(2-2*m^{2})*sn(\xi [1],k)^{4}+cos(\xi [2])^{2};-2*sn(\xi [1],k)^{2}*cos(\xi [2])^{2}+m^{2}*sn(\xi [1],k)^{4}*cos(\xi [2])^{2}}$

${\displaystyle \xi [1]=k[1]*x+\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1]}$

${\displaystyle \xi [2]={\sqrt {1-m^{2}}}*(k[1]*x+\lambda [1]*y+(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)-\gamma [2]}$

代入后得：

${\displaystyle f4:=-4*m^{2}*k[1]^{2}*((m^{2}-1)*JacobiSN(k[1]*x+\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}}$

${\displaystyle -3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)^{2}+(2-2*m^{2})*JacobiSN(k[1]*x+\lambda [1]*y}$

${\displaystyle +(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)^{4}+}$

${\displaystyle cos({\sqrt {(1-m^{2})}}*(k[1]*x+\lambda [1]*y+(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)}$

${\displaystyle -\gamma [2])^{2})/(sqrt(1-m^{2})*JacobiSN(k[1]*x+\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-}$

${\displaystyle 3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)*sin({\sqrt {(}}1-m^{2})*(k[1]*x+\lambda [1]*y+}$

${\displaystyle (-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)-\gamma [2])+JacobiDN(k[1]*x+\lambda [1]*y+}$

${\displaystyle (4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)*cos({\sqrt {1-m^{2}}}*(k[1]*x+\lambda [1]*y+}$

${\displaystyle (-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)-\gamma [2])*JacobiCN(k[1]*x+}$

${\displaystyle \lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k))^{2}}$

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  Kadomtsev Petviashivili pde elliptic function solution 3d plot