雙線性形式

在域${\displaystyle F}$中，向量空間${\displaystyle V}$的雙線性形式指的是一个${\displaystyle V\times V\rightarrow F}$上的线性函数${\displaystyle B}$，满足：

${\displaystyle \forall v\in V}$，映射：

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

${\displaystyle w\mapsto B(w,v)}$

都是线性的。這個定義也適用於交換環的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。

坐標表示法

如果${\displaystyle V}$是n維向量空間，设${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$是${\displaystyle V}$的一组基。定义${\displaystyle n\times n}$ 阶的矩阵${\displaystyle A}$使得${\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})}$。当${\displaystyle n\times 1}$ 的矩阵${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$表示向量${\displaystyle u}$及${\displaystyle v}$时，双线性形式${\displaystyle B}$可表示为:

${\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }$

考虑另一组基 ${\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$ ，其中S是一个可逆的${\displaystyle n\times n}$ 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在${\displaystyle C'}$下的矩阵${\displaystyle A'}$的形式为：

${\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}$

对偶空间映射

${\displaystyle {\textbf {V}}}$的每一個雙線性形式${\displaystyle B}$都定義了一對由${\displaystyle V}$射到它的对偶空间${\displaystyle V^{*}}$的線性函数。 定义${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ ：

${\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}$

常常記作：

${\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}$

這裡的(–)是放变量的位置。

如果${\displaystyle V}$是有限维空间的话，${\displaystyle V}$和它的雙对偶空間${\displaystyle V^{**}}$是同构的，这时${\displaystyle B_{2}}$是${\displaystyle B_{1}}$的轉置映射（如果${\displaystyle V}$是无限维空间，${\displaystyle B_{2}}$限制在${\displaystyle V}$在${\displaystyle V^{**}}$的像下的部分是${\displaystyle B_{1}}$的轉置映射）。 定義${\displaystyle B}$的轉置映射為雙線性形式：

${\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}$

如果${\displaystyle V}$是有限维空间，${\displaystyle B_{1}}$及${\displaystyle B_{2}}$的秩相等。如果他们的秩等于${\displaystyle V}$的維数的话，${\displaystyle B_{1}}$和${\displaystyle B_{2}}$就是由${\displaystyle V}$到${\displaystyle V^{*}}$的同构映射（显然${\displaystyle B_{1}}$是同构当且仅当${\displaystyle B_{2}}$是同构），此时，${\displaystyle B}$是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：${\displaystyle B}$是非退化的当且仅当

${\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}$

镜像對稱性和正交性

雙線性形式${\displaystyle B:V\times V\rightarrow F}$是镜像對稱的当且仅当:

${\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}$

有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量${\displaystyle v}$和${\displaystyle w}$关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：

${\displaystyle B(v,w)=0\,}$ 。

一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为${\displaystyle x}$的向量${\displaystyle v}$属于双线性形式的根当且仅当${\displaystyle Ax=0\,}$（等价于${\displaystyle x^{T}A=0\,}$），根一般是${\displaystyle V}$的子空间，

当${\displaystyle A}$是非奇异矩阵，即当${\displaystyle B}$是非退化时，根都是零子空间${\displaystyle \{0\}}$。

设${\displaystyle W}$是一个子空间，定义${\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}}$。

当${\displaystyle B}$是非退化时，映射${\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }}$是双射，所以${\displaystyle W^{\perp }}$的维数等于${\displaystyle \dim(V)-\dim(W)}$。

可以证明，雙線性形式${\displaystyle B}$是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一：

• 對稱的：${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,}$ ${\displaystyle \forall v,w\in V\,}$
• 交替(alternating)的：${\displaystyle B(v,v)=0\,}$ ${\displaystyle \forall v\in V\,}$

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

${\displaystyle B(v+w,v+w)}$就可看出。

当${\displaystyle F}$的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当${\displaystyle {\text{char}}(F)=2}$时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ 相等，是旋钮对称的当且仅当${\displaystyle B_{1}=-B_{2}}$。${\displaystyle {\text{char}}(F)\neq 2}$时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

${\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}$

其中${\displaystyle B^{*}}$是${\displaystyle B}$的转置映射。

不同空間的推廣

這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

${\displaystyle B:V\times W\rightarrow F}$。

此時仍有從${\displaystyle V}$到${\displaystyle W}$的對偶、及從${\displaystyle W}$到${\displaystyle V}$的對偶的映射。當${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下${\displaystyle B}$稱作完美配對。

張量積關係

由張量積的泛性質，${\displaystyle V}$ 上的雙線性形式一一對映至線性映射 ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow F}$：若 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle V}$ 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

${\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}$

所有從 ${\displaystyle V\otimes V}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的線性映射構成 ${\displaystyle V\otimes V}$ 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

${\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}$

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 ${\displaystyle S^{2}V^{*}}$的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪${\displaystyle \Lambda ^{2}V^{*}}$的元素。

參见

• 双线性映射
• 多线性映射
• 二次方程式
• 半双线性形式

外部链接

• Bilinear form. PlanetMath.