史特芬十四面體

史特芬十四面體是一種彈性多面體，由克勞斯·史特芬（德语：Klaus Steffen）於1978年發現^{[1][2]:244-247[3]}。這種多面體基於布里卡爾八面體但沒有自相交的面^[4]。這個多面體一共有14個三角形面，是最簡單的由非相交面組成的彈性多面體。^[5]其遵循強風箱猜想（strong bellows conjecture），這意味著其登不變量（英语：Dehn invariant）在形變過程皆保持不變。^[6]

史特芬十四面體

可局部活動的史特芬十四面體
類別	彈性多面體
對偶多面體	（未知）
性質
面	14
邊	21
頂點	9
歐拉特徵數	F=14, E=21, V=9 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	14個三角形
特性
彈性
圖像
（展開圖）

性質

史特芬十四面體由14個面、21條邊和9個頂點組成。其6個面又可以分成2個子群：來自布里卡爾八面體的6個三角形組，以及將這些三角形組拼起來的另外兩個三角形。^[7]

頂點座標

史特芬十四面體的頂點座標為：^[8]

${\displaystyle p_{1}=\left(0,\,0,\,0\right)}$

${\displaystyle p_{2}=\left(-12,\,0,\,0\right)}$

${\displaystyle p_{3}=\left({\frac {1}{24}},\,-{\frac {17{\sqrt {287}}}{24}},\,0\right)}$

${\displaystyle p_{4}=\left(x,\,r\cos \theta ,\,r\sin \theta \right)}$

其中${\displaystyle x}$與${\displaystyle r}$可透過下列方程組得出：^[8]

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{1}-p_{4}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{2}-p_{4}\right\|^{2}=100\end{cases}}}$

${\displaystyle p_{5}}$、${\displaystyle p_{6}}$、${\displaystyle p_{7}}$皆是未知數，其可由下列方程組得出：^[8]

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{5}-p_{4}\right\|^{2}=121\\\left\|p_{5}-p_{2}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{6}-p_{4}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{1}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{2}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{7}-p_{3}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{5}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{7}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{5}\right\|^{2}=25\end{cases}}}$

${\displaystyle p_{8}}$、${\displaystyle p_{9}}$亦是未知數，分別可由下列兩組方程組得出：^[8]

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{8}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{8}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{8}-p_{7}\right\|^{2}=25\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{9}-p_{1}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{9}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{9}-p_{6}\right\|^{2}=144\end{cases}}}$

構成史特芬十四面體的14個三角形分別為${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{2}}{p_{3}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{7}}{p_{3}}{p_{2}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{4}}{p_{2}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{4}}{p_{5}}}$、 ${\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{5}}{p_{7}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{6}}{p_{4}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{4}}{p_{6}}{p_{5}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{5}}{p_{6}}{p_{7}}}$、 ${\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{8}}{p_{7}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{9}}{p_{8}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{9}}{p_{6}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{7}}{p_{8}}}$、 ${\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{8}}{p_{9}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{3}}{p_{9}}}$。^[8]

體積

根據風箱定理^[9]，多面體的體積必為多項式的根，多項式的係數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變，因此體積必須保持在多項式的有限個根之一，而不會連續變化^[10]，因此史特芬十四面體在不同的變化狀態下體積皆保持不變。以上述頂點座標描述的史特芬十四面體為例，雖然其有不少頂點是可變的值，其在所有變化狀態下的體積皆為定值，其值約為200.777立方單位。^[8]:6

參見

• 彈性多面體