同界角

在幾何學中，同界角（英語：Coterminal angles）是指兩個有向角（有標示起始邊與終邊的角）有著各自的角度量值（其量值可能相等），且共用同一對起始邊與終邊，即共享相同始邊和終邊的角度，但擁有不同的旋轉量，就稱為同界角^[1]。同界角擁有相同的三角函數值，因此三角函數具有周期性。每個角皆有無限多個同界角，其量值可以為負，但必須是一個實數。

45度的3個同界角

性質

正轉和逆轉都可以得到相同的角，但他們擁有不同的旋轉量，圖中為45度和─315度

每個同界角皆差360度，換句話說，每360度就會出現一個同界角^[2]。每個同界角兩邊的向量內積與外積皆有相同的值。此外，任何角都可以找到最小正同界角和最大負同界角。

同界角可以如下定義：

1. 若有兩個角有相同的始邊與終邊，則兩個角互為同界角
2. 若兩角相差360度的整數倍則兩個角互為同界角

同界角存在關係式：

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=360^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} }$

亦可寫為：

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=2k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }$

或：

${\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}$

${\displaystyle \cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}=0}$

與三角函數關係

從三角函數的周期可以發現，每間隔${\displaystyle 2\pi }$就會找到相同高度的點，該點即為同界角的三角函數值。

從反三角函數圖形得知反餘弦必得到最小正同界角，而反正弦則有可能得到最小正同界角或最大負同界角

主条目：诱导公式

從三角函數的诱导公式可以得知同界角的存在，下表指出，任何三角函數，只要位移為${\displaystyle 2\pi }$，就會得到相同的函數值，因此${\displaystyle \theta }$與${\displaystyle \theta +2\pi }$互為同界角。

移位 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	移位 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \tan }$ 和 ${\displaystyle \cot }$ 的周期	移位 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \sin }$、${\displaystyle \cos }$、${\displaystyle \csc }$ 和 ${\displaystyle \sec }$ 的周期
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}}}$

另外，從簡單的三角方程中，也可以找到同界角，例如：

考慮方程${\displaystyle \cos(\theta )=k\,,\,\theta }$有無限多組解，其中${\displaystyle \arccos(k)}$為一個解且為最小正同界角，其餘解皆與${\displaystyle \arccos(k)}$或是-${\displaystyle \arccos(k)}$互為同界角。

但是有例外，如正切和餘切，由於其週期不為360度，如正切函數的周期為180度（即${\displaystyle \pi }$），因此相同的函數值未必互為同界角。

最小正同界角與最大負同界角

角的量與最小正同界角（黃）與最大負同界角（藍）的關係

同界角通常有無窮多個，因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時，會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中，最小正同界角恆為正，通常解某些具週期性的方程的主值時，是使用最小正同界角。最小正同界角在0到${\displaystyle 2\pi }$（360度）之間的最小正同界角與原始角相同，當原始角為${\displaystyle 2\pi }$（360度）或${\displaystyle 2\pi }$（360度）的倍數時，最小正同界角為零；最大負同界角恆為負，在${\displaystyle -2\pi }$（負360度）到0之間的最大負同界角與原始角相同。

參見

• 角
• 角度
• 三角函數