同調球面

數學的代數拓撲學中，同調球面是n維流形X，具有n-球面的同調群。在此n ≥ 1是整數。換言之，

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z)

對所有其他i，H_i(X,Z) = {0} .

因此X是一個連通空間，僅有一個非零的高階貝蒂數b_n（除了 b₀=1 外）。

由於H_n(X,Z)非零，故X是緊緻及可定向的。

當n > 1時，雖然H₁(X,Z) = {0}，不過並不表示X是單連通的，即X的基本群未必是平凡的，只表示其基本群是完滿群。（參看Hurewicz定理）

有理同調球面的定義與上述類似，不過用有理係數的同調群代替。

龐加萊同調球面

龐加萊同調球面（又稱為龐加萊十二面體空間）是同調球面的一個例子。龐加萊同調球面是球面3-流形（英语：spherical 3-manifold），因此基本群是有限的。同調3-球面中，除了3-球面之外，就只有龐加萊同調球面有有限基本群。它的基本群稱為binary icosahedral group（英语：binary icosahedral group），這個群的目是120。

龐加萊在1900年猜想使用同調群就可以分辨3-流形是否3-球面，1904年他提出了這個反例，並引入了基本群概念證明他的反例不是球面，又將原來的猜想修改為龐加萊猜想。

構造法

龐加萊同調球面的一個簡單構造法是使用正十二面體。將正十二面體的每個面與相對的另一面等同，將兩個面用順時針方向的最小「扭轉」重合。這樣黏合後得出的是閉3-流形。（參看用相似構造法及較大的「扭轉」而成的Seifert–Weber space（英语：Seifert–Weber space），得出的是一個雙曲3-流形。）

另一個得出龐加萊同調球面的方法，是用商空間SO(3)/I，此處 I 是二十面體群，就是正二十面體和正十二面體的旋轉對稱群，同構於交錯群A₅。更直觀地說，龐加萊同調球面就是正二十面體在三維歐幾里得空間中，所有可從幾何區別的位置所組成的空間。

性質

二重懸垂定理（英语：Double suspension theorem）指一個同調球面的二重懸垂是一個拓撲球面。

應用

若A是一個不同胚於3-球面的同調3-球面，則A的懸垂（英语：suspension (topology)）是一個4維同調流形，卻不是拓撲流形。A的二重懸垂同胚於5-球面，但是從A的三角剖分（英语：Triangulation (topology)）誘導出來的三角剖分不是分片線性流形（英语：Piecewise linear manifold）。換言之，這給出了一個有限單純複形例子，是拓撲流形，但不是分片線性流形，

Galewski－Stern證明了任何至少5維的（無邊）緊流形都同胚於某單純複形，若且唯若存在一個同調3-流形Σ，其Rokhlin不變量（英语：Rokhlin invariant）是1，使得它與自身的連通和Σ#Σ包圍了一個光滑零調（acyclic）4-流形。2013年，Ciprian Manolescu證明了不存在這樣的同調3-流形Σ。^[1]因此存在5-流形不同胚於單純複形。特別地，Galewski－Stern原來給出的例子是不可三角剖分的。^[2]