吠陀方形

吠陀方形（Vedic square）屬於古印度數學，是9 × 9 乘法表的變形，每個數字都用乘積的數根來代替。換句話說，與乘積除以9以後的余数的概念接近，若是該乘積為9的倍數，其數根為9不為0。 吠陀方形中有許多幾何模式及對稱特性，其中有些模式會出現在傳統的伊斯蘭藝術^[1]。

標示吠陀方形中特定數字的位置，可以看出有某種軸對稱

${\displaystyle \circ }$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

代數性質

吠陀方形可以視為是幺半群${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$的乘法表，其中${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$是整數除以9後所可能的餘數（運算元${\displaystyle \circ }$是指幺半群元素之間的抽象乘法）

若${\displaystyle a,b}$是${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$ 的元素，則${\displaystyle a\circ b}$可以定義為${\displaystyle (a\times b)\mod {9}}$，其中元素9表示其除以9以後餘數為0，而不用傳統的0來表示。

這個幺半群不是數學上的群，因為不是每一個非零元素都有對應的逆元素，例如${\displaystyle 6\circ 3=9}$，但不存在${\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}}$使得${\displaystyle 9\circ a=6.}$。

子集的性質

子集${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$形成循環群。每一行及每一列都恰好有六個相異的數字，因此這個子集也是拉丁方陣。

${\displaystyle \circ }$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

三維的吠陀立方

吠陀立方定義為三維乘法表中，用每個乘積的數根來代替乘積^[2][3]。

相關條目

• 拉丁方陣
• 模運算
• 幺半群