呂利耶定理

球面三角學中，球面三角形的邊長與面積的關係由呂利耶定理給出。這是海倫公式向非歐幾何的推廣。

球面三角形

在半徑為${\displaystyle R}$的球面上的球面三角形${\displaystyle \triangle ABC}$，其三邊${\displaystyle BC,CA,AB}$的邊長（以三邊與球心所成角度表示）為${\displaystyle a,b,c}$，半周長為${\displaystyle p={1 \over 2}(a+b+c)}$。呂利耶定理給出它在球面上的面積：

${\displaystyle S=4R^{2}\arctan \left({\sqrt {\tan {p \over 2}\tan {\frac {p-a}{2}}\tan {\frac {p-b}{2}}\tan {\frac {p-c}{2}}}}\right)}$。

當球面曲率足夠小，球面近似於平面，從以上公式可得出海倫公式為其極限情形。事實上，當${\displaystyle R}$比${\displaystyle AB,BC,CA}$大的多，使得${\displaystyle a,b,c<\!\!<1}$，可作近似估算

${\displaystyle \tan x\approx \arctan x\approx x}$，

代入上式便得出海倫公式。