在數論中,哈代-李特爾伍德第一猜想(first Hardy–Littlewood conjecture)[1]指的是對小於給定數的質數k元組(英语:Prime_k-tuple)的非病態公式,這猜想是對質數定理的推廣。這猜想最初由G·H·哈代和約翰·恩瑟·李特爾伍德在1923年提出。[2] 事实速览 領域, 猜想提出者 ...First Hardy–Littlewood conjecture小於給定的 n {\displaystyle n} 的孿生質數的數量的圖。哈代-李特爾伍德第一猜想預測說會有無限多對這樣的數。領域數論猜想提出者G·H·哈代約翰·恩瑟·李特爾伍德猜想提出年1923開放問題是关闭 陳述 設 m 1 , m 2 , … , m k {\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}} 為一組使得 P = ( p , p + m 1 , p + m 2 , … , p + m k ) {\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})} 不對任何質數構成一個完全剩餘系的正整數,並以 π P ( n ) {\displaystyle \pi _{P}(n)} 表示不大於 n {\displaystyle n} 並使得 p + m 1 , p + m 2 , … , p + m k {\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}} 皆為質數的質數 p {\displaystyle p} 的數量,那麼有:[1][3] π P ( n ) ∼ C P ∫ 2 n d t log k + 1 t , {\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},} 其中 C P = 2 k ∏ q prime, q ≥ 3 1 − w ( q ; m 1 , m 2 , … , m k ) q ( 1 − 1 q ) k + 1 {\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}} 是奇質數的乘積,且此處 w ( q ; m 1 , m 2 , … , m k ) {\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})} 表示 0 , m 1 , m 2 , … , m k {\displaystyle 0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}} 除以 q {\displaystyle q} 後,其中不同的餘數的個數。 k = 1 {\displaystyle k=1} 且 m 1 = 2 {\displaystyle m_{1}=2} 的情況和孿生質數猜想相關,特別地,若以 π 2 ( n ) {\displaystyle \pi _{2}(n)} 表示不大於 n {\displaystyle n} 的孿生質數個數,那麼有 π 2 ( n ) ∼ C 2 ∫ 2 n d t log 2 t , {\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},} 其中 C 2 = 2 ∏ q prime, q ≥ 3 ( 1 − 1 ( q − 1 ) 2 ) ≈ 1.320323632 … {\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots } 是孿生質數常數。[3] Remove ads斯奎斯數 主条目:質數k元組 § 斯奎斯數 質數k元組的斯奎斯數,是根據哈代-李特爾伍德第一猜想,在質數k元組上對斯奎斯數的定義的推廣。質數k元組 P {\displaystyle P} 的斯奎斯數的定義是最小的違反哈代-李特爾伍德的質數 p {\displaystyle p} ,也就是最小的使得下式成立的質數:[3] π P ( p ) > C P li P ( p ) , {\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),} Remove ads結果 目前已證明說,哈代-李特爾伍德第一猜想和哈代-李特尔伍德第二猜想彼此不相容。[4] 推廣 Bateman–Horn猜想(英语:Bateman–Horn conjecture)是哈代-李特爾伍德第一猜想在次數大於一的多項式上的推廣。[1] 出處Loading content...參考資料Loading content...Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads