因式分解

因式分解，在这里是指多項式因式分解（英語：Polynomial Factorization^{[註 1]}），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式^{[註 2]}的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式${\displaystyle x^{2}-1^{2}}$可被因式分解為${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-1\right)}$。又如二元多項式${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$因式分解為${\displaystyle \left(x+y\right)\left(x-y\right)}$。如果我们允许多項式系数从整数扩大到複整數，那么${\displaystyle x^{2}+1^{2}}$可被因式分解為${\displaystyle \left(x+i\right)\left(x-i\right)}$。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（irreducible）。也就是不能再分解了。

多项式${\displaystyle x^{2}+cx+d}$可因式分解成${\displaystyle \left(x+a\right)\left(x+b\right)}$，其中：${\displaystyle ab=d,a+b=c}$。

定义

数域${\displaystyle P}$上每个高于一次的多项式${\displaystyle f(x)}$都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式${\displaystyle p_{i}(x)}$的乘积，为因式分解。

在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。

在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。

在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当${\displaystyle n}$为正整数时，关于${\displaystyle x}$的多项式${\displaystyle x^{n}+2}$无法再分解^[1]。

因式分解定理

数域F上每个次数${\displaystyle \geq 1}$的多项式${\displaystyle f(x)}$都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式

${\displaystyle f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdots p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdots q_{t}(x)}$

其中${\displaystyle p_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$和${\displaystyle q_{j}(x)(j=1,2,\cdots ,t)}$都是数域F上的不可约多项式，那么必有${\displaystyle s=t}$，而且可以适当排列因式的次序，使得

${\displaystyle p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$,其中${\displaystyle c_{i}(i=1,2,\cdots ,s)}$是一些非零常数

分解方法

公因式分解(抽)

原则：

1. 分解必須要彻底（即分解後之因式均不能再做分解）
2. 結果最後只留下小括號
3. 結果的多項式首項為正。

在一個公式內把其公因子抽出，例子：

• ${\displaystyle 7a+98ab}$
  • 其中，${\displaystyle 7a}$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：${\displaystyle 7a(1+14b)}$
• ${\displaystyle 51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}}$
  • 其中，${\displaystyle 3a^{3}b^{2}}$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：${\displaystyle 3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)}$

公式法

兩個立方數之和 $${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

兩個立方數之差 $${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$$

兩個n次方數之差 $${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$$

兩個奇數次方數之和 $${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$$

分组分解法

透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}&3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby\\=&(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)\\=&3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\=&(1+4ab)(3a^{2}b-5y)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&15n^{2}+2m-3n-10mn\\=&(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)\\=&3n(5n-1)+2m(1-5n)\\=&3n(5n-1)-2m(5n-1)=&(5n-1)(3n-2m)\end{aligned}}}$

拆添项法

透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}+x^{2}+1\\=&x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1\\=&x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1\\=&x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}\\=&\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}\\=&\left(x^{2}+1-x\right)\left(x^{2}+1+x\right)\\=&\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\end{aligned}}}$

或者透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

${\displaystyle x^{3}-7x+6}$

其中，${\displaystyle -7x}$可以被拆成${\displaystyle -x}$和${\displaystyle -6x}$。所以，${\displaystyle x^{3}-7x+6}$可以被寫成${\displaystyle x^{3}-x-6x+6}$。因此，

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{3}-7x+6\\=&x^{3}-x-6x+6\\=&\left(x^{3}-x\right)-\left(6x-6\right)\\=&x\left(x^{2}-1\right)-6\left(x-1\right)\\=&x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)\\=&\left[x\left(x+1\right)-6\right]\left(x-1\right)\\=&\left(x^{2}+x-6\right)\left(x-1\right)\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle +x}$可以被拆成${\displaystyle +3x}$和${\displaystyle -2x}$。所以，${\displaystyle x^{2}+x-6}$可以被寫成${\displaystyle x^{2}+3x-2x-6}$。因此，

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(x^{2}+x-6\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x^{2}+3x-2x-6\right)\left(x-1\right)\\=&\left[\left(x^{2}+3x\right)-\left(2x+6\right)\right]\left(x-1\right)\\=&\left(x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)\end{aligned}}}$

十字交乘法

主条目：十字交乘法

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实際上就是前述拆添項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

一次因式檢驗法

一個整係數的一元多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$，假如它有整係數因式${\displaystyle px+q}$，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

• ${\displaystyle p|a_{n}}$
• ${\displaystyle q|a_{0}}$

不過反過來說，即使當${\displaystyle p|a_{n}}$和${\displaystyle q|a_{0}}$都成立時，整係數多項式${\displaystyle px+q}$也不一定是整係數多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$，若${\displaystyle px-q}$是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真）

• ${\displaystyle p-q|f(1)}$
• ${\displaystyle p+q|f(-1)}$

参见

• 因数分解
• 高斯整數分解
• 多項式
• 根
• 十字相乘
• 乘法公式