底数 (进制)

底数（radix， base）又称數基^[1]、基數、基值、根值^[2]、記數根^[3]，是指进位制中用以乘每個數位而得有效值的數；如十進位數的底數為 10，而二進位數的底數為 2。底数（数基）属于记数系统所使用的一种數字表示符號。

在进位制系統中，若要表示一個數字的底數和值，會用(x)_y表示，x是每一位數字組合成的字符串，y是底数，十進制是最常用的，因此會省略底數以及字符串前後的括號。例如(100)₁₀也可以表示為100（後者省略其進制），表示一百，而(100)₂（底數為2，是二進制）表示數字4^[4]。

進位制和底數

以13進制的系統為例，398表示的數字是（十進制下的）3 × 13² + 9 × 13¹ + 8 × 13⁰ = 632。

若是在b進制（b > 1）下，各位數數字是d₁ … d_n的數，其值為 d₁bⁿ⁻¹ + d₂bⁿ⁻² + … + d_nb⁰，其中 0 ≤ d_i < b.^[4]。在十進制中，有個位數、十位數、百位數……等，而在b進制中，有個位數、b¹位數、b²位數……等^[5]。

常用的進制系統有：

底數	名稱	描述
2	二进制	是絕大多數电子计算机中使用的進制。二個數字分別是"0"和"1"，可以以用開關關閉或開啟來表示。大部份的電子计数器都使用二進制。
8	八进制	有時會在運算時使用。八個數字分別是"0"–"7"，表示三個位元（23）。
10	十进制	全世界最常使用的進制系統，一般運算也是用十進制來表示。十個數字分別是"0"–"9"。用在大部份的機械計數器（英语：mechanical counter）上。
12	十二进制	因為底數可以被2、3、4和6整除，有些情形上使用很方便。傳統上有些數量用打或籮表示的，即使用了十二进制。
16	十六进制	十六进制可以用比較簡潔的方式表示二進制（十六進制的一個數字代表二進制的四個位元），常用在電腦中。十個數字分別是"0"–"9"，以及"A"–"F"（或"a"–"f"） 而且可以表示顏色。
20	二十进制	有些文化傳統上會使用二十進制，有些文化在計數時仍會用到，有些會用score表示20。
60	六十進制	源起於古苏美尔，後來傳到巴比倫尼亞[6]。現今表示角度的度分秒系統，以及表示时间的時分秒系統都有使用六十進制。

二進制的數字可以輕鬆的轉換為八進制和十六進制的數字，而且數字長度較短。十六進制的一個數字表示二進制的四位數字。例如十六進制的78₁₆，在二進制下是1111000₂。而八進制的一個數字也可以表示二進制的三位數字。

正整數在特定進制下的表示法是唯一的。令b大於一的正整數，則每一個正整數a都可以以以下形式表示，而且不會和其他的正整數重覆：

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

其中m是非負整數，r是整數，使得

0 < r_m < b and 0 ≤ r_i < b for i = 0, 1, ... , m − 1.^[7]

底数多半是自然数，不過也有一些進制的底数不是整數，例如黄金进制（底数是非整數的代數數^[8]）、負底數（英语：negative base）（底数為負）^[9]。 負底數可以在不使用負號的情形下表示負數。例如，若b = −10，則該進制下的19對應十進制下的1 × (−10)¹ + 9 × (−10)⁰ = −1。

廣義的底數

底數亦可以解釋為進位制系統進位的時機，當底數為b時，則該进制每逢b則進位一次。例如十进制底數為10，故數字每逢十就進位一次，也就是說9的下一個數將會進位到十位數，又例如八进制底數為8，故7的下一個數則逢8，進位成10₍₈₎。

此定義可以將底數推廣到非整數进制中，例如黃金进制底數為黃金比例，故黃金比例這個數在黃金进制中表達為10，因為已「逢黃金比例」因此進位到第二位數。

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