设
是一个紧豪斯多夫空间,
是一个希尔伯特空间,
是
上有界算子所构成的巴拿赫空间。对于
上的博雷尔 σ-代数
到
的映射
,若它是弱可数可加的,也就是说若对于任何不相交的博雷尔集序列
有
则称其为是一个算子值测度。关于此类测度性质的一些术语是:
称为是正则的,若标量值测度
是一正则的博雷尔测度。这意味着所有紧集都有有限的总变差,并且集合的测度可由开集的测度来逼近。
称为是有界算子值测度,若
。
称为是正算子值测度,若对于任意
而言
都是正算子。
称为是自伴算子值测度,如果任意
而言
都是自伴算子。
称为是谱测度,如果
是自伴的,且
对任意
成立。
下面将始终假设
是正则的。
令
表示
上连续函数所构成的交换C*-代数。如果
正则且有界,则它可导出一个映射
如下:
反过来也可以从一个有界线性映射确定出一个有界、正则的有界算子值测度,它们有一一对应关系。
的有界性意味着,对于所有范数为一的
,有
由此可见对于任意
给出的
都是有界算子,且
本身也是一个有界线性映射。
的性质与
的性质直接相关:
- 若
是正的,则
作为C*-代数之间的映射而言也是正的。
- 根据定义,
成为一个同态的条件是:对于任意的
上连续函数
以及
,
取
为博雷尔集的指示函数,可发现上述条件要求
是一个谱测度。
- 类似地,
与*运算相容是指
等号左端是
而右端是
于是,通过在一个单增收敛于
的指示函数的连续函数序列中取
,可得
,即
是自伴的。
- 结合前两个事实可以得出以下结论:当且仅当
是自伴的且谱的 (这样的
被称为投影值测度),
才成为*-同态。